ForHosting KIT · أدوات المطورين

حاسبة تربيع غاوس-ليجندر بنقطتين

تقرّب هذه الحاسبة التكامل المحدد لكثير حدود على فترة منتهية باستعمال تربيع غاوس-ليجندر بنقطتين.

● Betaمجاني · داخل متصفحك

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

أدخلوا المعاملات بترتيب القوى تنازليًا، ثم حدّي الفترة الأدنى والأعلى. تحوّل الحاسبة العقد القياسية من [-1, 1] إلى الفترة المطلوبة، وتقيّم كثير الحدود مرتين، ثم تجمع القيم بعامل القياس الصحيح. كما تعرض التكامل التحليلي الدقيق لكثير الحدود والخطأ المطلق، ولذلك تفيد في الدراسة ومراجعة الحساب اليدوي واختبار برمجيات التكامل العددي.

أدخلوا كثير الحدود والفترة بوضوح

مثّلوا كثير الحدود بمعاملات مرتبة من أعلى قوة إلى الحد الثابت. فالمصفوفة [2, -3, 0, 5] تعني 2x³ - 3x² + 0x + 5. أبقوا الصفر ظاهرًا عند غياب قوة وسطية، لأن موضع كل معامل هو الذي يحدد أسّه. بعد ذلك أدخلوا حدًا أدنى وحدًا أعلى منتهيين، على أن يكون الحد الأعلى أكبر من الأدنى حتمًا. تقبل الحاسبة كثيرات الحدود الثابتة وذات الدرجات الأعلى ضمن الحد الموثق لعدد المعاملات. وهي لا تحلل عبارة رمزية مثل «مربع x زائد واحد»؛ فمصفوفة الأعداد تمنع الالتباس في الأولوية والإشارات والحدود الغائبة. تحققوا قبل الحساب من أن اتجاه الفترة يوافق التكامل المحدد المقصود. وإذا أردتم التكامل في الاتجاه المعاكس، فبدّلوا الحدين بأنفسكم واعكسوا إشارة النتيجة. يجعل هذا الشرط المقصود التحويل المعروض وعامل الفترة الموجب واضحين وسهلَي المراجعة.

افهموا التحويل والتقييم الموزون

يبدأ تربيع غاوس-ليجندر بنقطتين بالعقدتين القياسيتين -1/√3 و1/√3، ولكل منهما وزن يساوي واحدًا على الفترة القياسية [-1, 1]. بالنسبة إلى الفترة [a, b]، تستعمل الحاسبة نقطة المنتصف (a + b)/2 ونصف العرض (b - a)/2. تتحول كل عقدة قياسية t وفق الصيغة x = نقطة المنتصف + نصف العرض × t. ولا يُقيّم كثير الحدود إلا عند قيمتي x المحولتين هاتين. ثم يُضرب مجموع التقييمين في نصف العرض لإنتاج التقريب. يكشف الناتج العقد القياسية والعقد المحولة وقيمة الدالة عند كل منها، حتى تتمكنوا من إعادة كل جزء من الحساب بصورة مستقلة. اختيرت عقد غاوس-ليجندر لتمنح دقة جبرية أعلى من نقاط متساوية التباعد مع العدد نفسه من التقييمات. لا تقيّم هذه القاعدة طرفي الفترة ولا تجري تقسيمًا تكيفيًا؛ بل تطبق صيغة العقدتين الكلاسيكية مرة واحدة على كامل الفترة المطلوبة.

فسّروا الدقة والخطأ المعروض

تُكامل قاعدة غاوس-ليجندر ذات العقدتين، في الحساب الدقيق، كل كثير حدود درجته ثلاثة أو أقل تكاملًا دقيقًا. أما الدرجة الرابعة فما فوق فتعطي عادةً تقريبًا، مع أن معاملات خاصة أو فترات متناظرة قد تلغي الخطأ أحيانًا. لذلك يصف الحقل exact_for_polynomial ضمان الدرجة العام، ولا يدّعي الدقة اعتمادًا على ظهور خطأ صفري فقط. ولأن المدخل كثير حدود أصلًا، تحسب الحاسبة أيضًا قيمة مرجعية دقيقة بتكامل كل حد أحادي تحليليًا وتقييم الدالة الأصلية عند الحدين. يمثّل absolute_error الفرق غير السالب بين تلك القيمة المرجعية وتقريب التربيع. قد تظهر بقايا صغيرة في حالات دقيقة نظريًا لأن أعداد JavaScript تستخدم حساب الفاصلة العائمة محدود الدقة. استعملوا المقارنة لدراسة تأثير الدرجة وعرض الفترة والتناظر في قاعدة تربيع ثابتة. وعند الدرجات العالية أو المعاملات الكبيرة، يمكن أن تقلل إعادة قياس المتغير من تجاوز المجال والحساسية للتقريب قبل تطبيق التكامل العددي.

حالات الاستخدام

مراجعة تمرين في التحليل العددي

قارنوا العقد المحولة وقيم العينات والتقريب النهائي بكل سطر في الحساب اليدوي.

إظهار دقة كثيرات الحدود التكعيبية

جرّبوا كثيرات حدود حتى الدرجة الثالثة على فترات مختلفة، وافحصوا المرجع الدقيق وخطأ الفاصلة العائمة.

إنشاء حالات لاختبار الانحدار

ولّدوا نتائج حتمية لاختبار تقييم كثيرات الحدود أو تحويل الفترات أو برمجيات التكامل.

الأسئلة الشائعة

ما معنى مصفوفة المعاملات؟

تُسرد المعاملات بحسب القوى تنازليًا. تمثل [3, 0, -2] العبارة 3x² - 2، ويحفظ الصفر موضع الحد الخطي الغائب.

لماذا تساوي العقدتان القياسيتان موجب وسالب 1 على جذر 3؟

لأنهما جذرا كثيرة حدود ليجندر الثانية. ومع وزنين متساويين تصبح القاعدة دقيقة لكل كثير حدود حتى الدرجة الثالثة.

هل تقيّم الطريقة طرفي الفترة؟

لا. تقع العقدتان المحولتان داخل الفترة، ولا تأخذ قاعدة غاوس-ليجندر بنقطتين عينة عند أي من الطرفين.

لماذا قد يظهر خطأ ضئيل لكثير حدود تكعيبي دقيق؟

القاعدة الرياضية دقيقة للتكعيبيات، لكن العقد والعمليات تمثل بأعداد فاصلة عائمة محدودة الدقة، ولذلك قد تبقى بقية صغيرة.

ما الكلفة؟

تبلغ كلفة كل طلب API مقدار $0.002. تعمل نسخة المتصفح محليًا من دون إجراء الحساب عبر الشبكة.

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/gauss-legendre-2point

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/gauss-legendre-2point \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"coefficients":[1,0,0],"lower_bound":0,"upper_bound":1}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/gauss-legendre-2point", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "coefficients": [
      1,
      0,
      0
    ],
    "lower_bound": 0,
    "upper_bound": 1
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/gauss-legendre-2point",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "coefficients": [
        1,
        0,
        0
    ],
    "lower_bound": 0,
    "upper_bound": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/gauss-legendre-2point", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"coefficients":[1,0,0],"lower_bound":0,"upper_bound":1}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"coefficients":[1,0,0],"lower_bound":0,"upper_bound":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/gauss-legendre-2point", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "coefficients": [
    1,
    0,
    0
  ],
  "lower_bound": 0,
  "upper_bound": 1
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.gauss_legendre_2point",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←