Calculadora de quadratura Gauss-Legendre de 2 pontos

Informe os coeficientes em ordem decrescente de potências e, depois, os limites inferior e superior. A ferramenta transforma os nós padrão de [-1, 1] para o intervalo informado, avalia o polinômio duas vezes e combina os valores com o fator de escala correto. Ela também apresenta a integral polinomial exata e o erro absoluto, sendo útil para estudar, conferir cálculos manuais e testar código de integração numérica.

Informe claramente o polinômio e o intervalo

Represente o polinômio com coeficientes organizados da maior potência até o termo constante. Por exemplo, o vetor [2, -3, 0, 5] significa 2x³ - 3x² + 0x + 5. Mantenha zeros explícitos quando faltar uma potência intermediária, pois a posição de cada coeficiente determina seu expoente. Em seguida, informe limites inferior e superior finitos, sendo que o superior deve ser estritamente maior. A calculadora aceita polinômios constantes e de graus maiores até o limite documentado de coeficientes. Ela não interpreta expressões simbólicas como “x ao quadrado mais um”; o vetor numérico elimina ambiguidades de precedência, sinais e termos ausentes. Antes do cálculo, confira se a direção do intervalo corresponde à integral definida pretendida. Caso precise da integral no sentido inverso, troque você mesmo os extremos e negue o resultado apresentado. Essa exigência intencional facilita a inspeção do mapeamento exibido e do fator positivo de escala do intervalo.

Entenda o mapeamento e a avaliação ponderada

A quadratura Gauss-Legendre de dois pontos começa com os nós padrão -1/√3 e 1/√3, ambos com peso um no intervalo padrão [-1, 1]. Para um intervalo [a, b], a calculadora usa o ponto médio (a + b)/2 e a meia largura (b - a)/2. Cada nó padrão t é transformado por x = ponto médio + meia largura × t. O polinômio é avaliado somente nesses dois valores transformados de x. A soma das avaliações é então multiplicada pela meia largura, produzindo a aproximação. A saída mostra os nós padrão e transformados, além de cada valor da função, para que você possa reproduzir cada parte do cálculo separadamente. Os nós de Gauss-Legendre são escolhidos para alcançar precisão algébrica superior à de pontos igualmente espaçados com o mesmo número de avaliações. Essa regra não avalia os extremos nem faz subdivisão adaptativa: trata-se de uma única aplicação da fórmula clássica de dois nós sobre todo o intervalo solicitado.

Interprete a exatidão e o erro informado

Uma regra de Gauss-Legendre com dois nós integra exatamente, em aritmética exata, qualquer polinômio de grau três ou menor. Para polinômios de grau quatro ou maior, em geral fornece uma aproximação, embora coeficientes especiais ou intervalos simétricos possam cancelar o erro. Portanto, exact_for_polynomial descreve a garantia geral de grau, e não uma conclusão baseada apenas em um erro exibido como zero. Como a entrada já é polinomial, a calculadora também obtém uma referência exata ao integrar cada monômio analiticamente e avaliar a antiderivada nos dois limites. absolute_error é a diferença não negativa entre essa referência e a quadratura. Pequenos resíduos podem surgir em casos teoricamente exatos porque os números do JavaScript usam ponto flutuante de precisão finita. Use a comparação para estudar como grau, largura do intervalo e simetria afetam uma regra fixa. Para graus difíceis ou coeficientes grandes, redimensionar a variável pode reduzir estouro e sensibilidade ao arredondamento antes da integração numérica.