Calculateur de quadrature Gauss-Legendre à 2 points

Saisissez les coefficients par puissances décroissantes, puis les bornes inférieure et supérieure. L’outil transforme les nœuds standard de [-1, 1] vers votre intervalle, évalue deux fois le polynôme et combine ces valeurs avec le bon facteur d’échelle. Il indique aussi l’intégrale polynomiale exacte et l’erreur absolue, ce qui vous permet d’étudier la méthode, de contrôler un calcul manuel et de tester un programme d’intégration numérique.

Saisissez clairement le polynôme et l’intervalle

Représentez le polynôme par des coefficients classés de la puissance la plus élevée jusqu’au terme constant. Par exemple, le tableau [2, -3, 0, 5] désigne 2x³ - 3x² + 0x + 5. Conservez un zéro explicite lorsqu’une puissance intermédiaire manque, car la position de chaque coefficient fixe son exposant. Indiquez ensuite des bornes inférieure et supérieure finies, la seconde devant être strictement supérieure à la première. Le calculateur accepte les constantes comme les polynômes de degré élevé, dans la limite documentée du nombre de coefficients. Il n’analyse pas une expression symbolique telle que « x au carré plus un » : le tableau numérique écarte toute ambiguïté concernant la priorité, les signes et les termes absents. Avant le calcul, vérifiez que le sens de l’intervalle correspond à l’intégrale définie recherchée. Pour intégrer dans le sens inverse, permutez vous-même les bornes et prenez l’opposé du résultat. Cette règle rend la transformation affichée et le facteur positif de l’intervalle faciles à vérifier.

Comprenez la transformation et l’évaluation pondérée

La quadrature de Gauss-Legendre à deux points part des nœuds standard -1/√3 et 1/√3, chacun de poids un sur l’intervalle standard [-1, 1]. Pour un intervalle [a, b], le calculateur emploie le milieu (a + b)/2 et la demi-largeur (b - a)/2. Chaque nœud standard t devient x = milieu + demi-largeur × t. Le polynôme est évalué uniquement aux deux valeurs transformées de x. La somme des évaluations est ensuite multipliée par la demi-largeur pour produire l’approximation. Le résultat expose les nœuds standard et transformés ainsi que chaque valeur de la fonction, afin que vous puissiez reproduire séparément toutes les étapes. Les nœuds de Gauss-Legendre sont choisis pour offrir une exactitude algébrique supérieure à celle de points régulièrement espacés nécessitant autant d’évaluations. La règle n’évalue aucune borne et n’effectue aucune subdivision adaptative : elle applique une fois la formule classique à deux nœuds sur la totalité de l’intervalle demandé.

Interprétez l’exactitude et l’erreur affichée

Une règle de Gauss-Legendre à deux nœuds intègre exactement, en arithmétique exacte, tout polynôme de degré inférieur ou égal à trois. Pour un degré quatre ou supérieur, elle fournit généralement une approximation, même si certains coefficients ou intervalles symétriques peuvent annuler l’erreur. Le champ exact_for_polynomial exprime donc la garantie générale liée au degré, et non une conclusion fondée uniquement sur un zéro affiché. Puisque l’entrée est déjà un polynôme, le calculateur établit aussi une référence exacte en intégrant analytiquement chaque monôme, puis en évaluant la primitive aux deux bornes. absolute_error est l’écart non négatif entre cette référence et la quadrature. De faibles résidus peuvent apparaître dans des cas théoriquement exacts, car les nombres JavaScript sont représentés en virgule flottante de précision finie. Servez-vous de la comparaison pour étudier l’effet du degré, de la largeur et de la symétrie sur une règle fixe. Avec un degré difficile ou de grands coefficients, un changement d’échelle de la variable peut limiter les dépassements et la sensibilité aux arrondis.