Calculadora de cuadratura Gauss-Legendre de 2 puntos

Introduzca los coeficientes en orden descendente de potencias y, después, los límites inferior y superior. La herramienta transforma los nodos estándar de [-1, 1] al intervalo indicado, evalúa el polinomio dos veces y combina esos valores con el factor de escala correcto. También muestra la integral polinómica exacta y el error absoluto, por lo que resulta útil para estudiar, revisar cálculos manuales y probar código de integración numérica.

Introduzca con claridad el polinomio y el intervalo

Represente el polinomio mediante coeficientes ordenados desde la mayor potencia hasta el término constante. Por ejemplo, el arreglo [2, -3, 0, 5] significa 2x³ - 3x² + 0x + 5. Conserve ceros explícitos cuando falte una potencia intermedia, ya que la posición de cada coeficiente determina su exponente. A continuación, indique límites inferior y superior finitos; el superior debe ser estrictamente mayor que el inferior. La calculadora admite polinomios constantes y de grados superiores, hasta el límite de coeficientes documentado. No interpreta expresiones simbólicas como «x al cuadrado más uno»: el arreglo numérico evita ambigüedades de precedencia, signos y términos ausentes. Antes de calcular, compruebe que la orientación del intervalo coincide con la integral definida deseada. Si necesita la integral en sentido inverso, intercambie usted los extremos y cambie el signo del resultado. Este requisito permite inspeccionar con facilidad la transformación mostrada y el factor positivo del intervalo.

Comprenda la transformación y la evaluación ponderada

La cuadratura Gauss-Legendre de dos puntos parte de dos nodos estándar, -1/√3 y 1/√3, ambos con peso uno en el intervalo estándar [-1, 1]. Para un intervalo [a, b], la calculadora utiliza el punto medio (a + b)/2 y la semiamplitud (b - a)/2. Cada nodo estándar t se transforma mediante x = punto medio + semiamplitud × t. El polinomio solo se evalúa en esos dos valores transformados de x. Después, la suma de las evaluaciones se multiplica por la semiamplitud para obtener la aproximación. La salida presenta los nodos estándar y transformados, además de cada valor de la función, de modo que usted pueda reproducir por separado todos los pasos. Los nodos de Gauss-Legendre se eligen para alcanzar mayor exactitud algebraica que puntos equidistantes con igual número de evaluaciones. La regla no evalúa los extremos ni subdivide de forma adaptativa: se aplica una sola vez a todo el intervalo solicitado.

Interprete la exactitud y el error mostrado

Una regla de Gauss-Legendre con dos nodos integra exactamente, en aritmética exacta, cualquier polinomio de grado tres o menor. Para polinomios de grado cuatro o superior suele producir una aproximación, aunque ciertos coeficientes o intervalos simétricos pueden cancelar el error. Por tanto, el campo exact_for_polynomial expresa la garantía general según el grado y no una conclusión basada únicamente en que el error mostrado sea cero. Como la entrada ya es un polinomio, la herramienta obtiene también una referencia exacta integrando analíticamente cada monomio y evaluando la antiderivada en ambos límites. absolute_error es la diferencia no negativa entre esa referencia y la cuadratura. En casos teóricamente exactos pueden aparecer residuos pequeños porque los números de JavaScript emplean coma flotante de precisión finita. Use la comparación para estudiar cómo influyen el grado, la anchura del intervalo y la simetría. Ante grados altos o coeficientes grandes, un cambio de escala de la variable puede reducir el desbordamiento y la sensibilidad al redondeo.