Rechner für die 2-Punkt-Gauß-Legendre-Quadratur

Geben Sie die Koeffizienten nach absteigenden Potenzen und anschließend die untere und obere Grenze ein. Der Rechner bildet die Standardknoten aus [-1, 1] auf Ihr Intervall ab, wertet das Polynom zweimal aus und kombiniert die Werte mit dem richtigen Skalierungsfaktor. Zusätzlich zeigt er das exakte Polynom-Integral und den absoluten Fehler an. Damit eignet er sich zum Lernen, zum Prüfen manueller Rechnungen und zum Testen numerischer Integrationsprogramme.

Geben Sie Polynom und Intervall eindeutig ein

Stellen Sie das Polynom durch Koeffizienten dar, die von der höchsten Potenz bis zum konstanten Glied angeordnet sind. Das Array [2, -3, 0, 5] bedeutet beispielsweise 2x³ - 3x² + 0x + 5. Behalten Sie ausdrückliche Nullen bei, wenn eine mittlere Potenz fehlt, denn die Position jedes Koeffizienten legt seinen Exponenten fest. Geben Sie danach eine endliche untere und obere Grenze ein; die obere Grenze muss strikt größer sein. Der Rechner akzeptiert konstante und höhergradige Polynome bis zur dokumentierten Koeffizientengrenze. Symbolische Ausdrücke wie „x zum Quadrat plus eins“ werden nicht analysiert. Das numerische Array vermeidet Unklarheiten bei Rangfolge, Vorzeichen und fehlenden Gliedern. Prüfen Sie vor der Berechnung, ob die Intervallrichtung dem gewünschten bestimmten Integral entspricht. Für die umgekehrte Richtung vertauschen Sie die Grenzen selbst und negieren das Ergebnis. Durch diese bewusste Vorgabe bleiben die angezeigte Abbildung und der positive Intervallfaktor leicht nachvollziehbar.

Verstehen Sie Abbildung und gewichtete Auswertung

Die 2-Punkt-Gauß-Legendre-Quadratur beginnt mit den Standardknoten -1/√3 und 1/√3, die auf dem Standardintervall [-1, 1] jeweils das Gewicht eins besitzen. Für ein Intervall [a, b] verwendet der Rechner den Mittelpunkt (a + b)/2 und die Halbbreite (b - a)/2. Jeder Standardknoten t wird gemäß x = Mittelpunkt + Halbbreite × t abgebildet. Das Polynom wird ausschließlich an diesen beiden abgebildeten x-Werten ausgewertet. Anschließend wird die Summe der Funktionswerte mit der Halbbreite multipliziert; daraus entsteht die Näherung. Die Ausgabe enthält Standardknoten, abgebildete Knoten und beide Funktionswerte, sodass Sie jeden Rechenschritt unabhängig nachvollziehen können. Gauß-Legendre-Knoten erzielen mit derselben Anzahl von Auswertungen eine höhere algebraische Genauigkeit als gleichmäßig verteilte Punkte. Die Intervallgrenzen werden nicht ausgewertet, und es findet keine adaptive Unterteilung statt. Die klassische Zweiknotenformel wird genau einmal auf das gesamte gewünschte Intervall angewendet.

Deuten Sie Exaktheit und ausgewiesenen Fehler

Eine Gauß-Legendre-Regel mit zwei Knoten integriert in exakter Arithmetik jedes Polynom bis einschließlich Grad drei exakt. Bei Grad vier oder höher liefert sie im Allgemeinen eine Näherung, auch wenn besondere Koeffizienten oder symmetrische Intervalle den Fehler gelegentlich aufheben. Das Feld exact_for_polynomial beschreibt deshalb die allgemeine Gradgarantie und keine Aussage, die allein aus einem angezeigten Nullfehler abgeleitet wird. Da die Eingabe bereits ein Polynom ist, berechnet der Rechner außerdem einen exakten Referenzwert: Er integriert jedes Monom analytisch und wertet die Stammfunktion an beiden Grenzen aus. absolute_error ist die nicht negative Differenz zwischen Referenzwert und Quadratur. Bei theoretisch exakten Fällen können kleine Reste auftreten, weil JavaScript-Zahlen Gleitkommaarithmetik mit endlicher Genauigkeit verwenden. Untersuchen Sie mit dem Vergleich, wie Grad, Intervallbreite und Symmetrie eine feste Quadraturregel beeinflussen. Bei hohen Graden oder großen Koeffizienten kann eine Skalierung der Variablen Überläufe und Rundungsempfindlichkeit verringern.