Calcolatore di quadratura Gauss-Legendre a 2 punti

Inserisca i coefficienti in ordine decrescente di potenza, quindi specifichi il limite inferiore e quello superiore. Lo strumento trasforma i nodi standard da [-1, 1] all’intervallo indicato, valuta due volte il polinomio e combina i valori con il corretto fattore di scala. Mostra inoltre l’integrale polinomiale esatto e l’errore assoluto, risultando utile per lo studio, la verifica dei calcoli manuali e il collaudo del codice di integrazione numerica.

Inserisca con chiarezza il polinomio e l’intervallo

Rappresenti il polinomio mediante coefficienti ordinati dalla potenza più alta fino al termine costante. Per esempio, l’array [2, -3, 0, 5] indica 2x³ - 3x² + 0x + 5. Mantenga gli zeri espliciti quando manca una potenza intermedia, poiché la posizione di ogni coefficiente ne determina l’esponente. Inserisca poi un limite inferiore e uno superiore finiti, con quello superiore strettamente maggiore di quello inferiore. Il calcolatore accetta polinomi costanti e di grado più elevato, entro il limite documentato di coefficienti. Non interpreta espressioni simboliche come «x al quadrato più uno»: l’array numerico elimina le ambiguità su precedenza, segni e termini mancanti. Prima di calcolare, controlli che il verso dell’intervallo coincida con l’integrale definito desiderato. Se Le serve l’integrale nel verso opposto, scambi personalmente gli estremi e cambi il segno del risultato. Questa scelta rende semplici da ispezionare sia la trasformazione visualizzata sia il fattore positivo dell’intervallo.

Comprenda la trasformazione e la valutazione pesata

La quadratura Gauss-Legendre a due punti parte dai nodi standard -1/√3 e 1/√3, ciascuno con peso uno sull’intervallo standard [-1, 1]. Per un intervallo [a, b], il calcolatore usa il punto medio (a + b)/2 e la semiampiezza (b - a)/2. Ogni nodo standard t viene trasformato mediante x = punto medio + semiampiezza × t. Il polinomio viene valutato soltanto nei due valori trasformati di x. La somma delle valutazioni viene quindi moltiplicata per la semiampiezza, generando l’approssimazione. L’output espone i nodi standard e trasformati insieme a ciascun valore della funzione, così Lei può riprodurre ogni parte del calcolo in modo indipendente. I nodi Gauss-Legendre sono scelti per ottenere una precisione algebrica maggiore rispetto a punti equidistanti con lo stesso numero di valutazioni. La regola non valuta gli estremi e non esegue suddivisioni adattive: applica una sola volta la formula classica a due nodi sull’intero intervallo richiesto.

Interpreti l’esattezza e l’errore riportato

Una regola Gauss-Legendre con due nodi integra esattamente, in aritmetica esatta, ogni polinomio di grado non superiore a tre. Per polinomi di grado quattro o maggiore fornisce in genere un’approssimazione, sebbene coefficienti particolari o intervalli simmetrici possano talvolta annullare l’errore. Il campo exact_for_polynomial descrive quindi la garanzia generale legata al grado, non una conclusione tratta soltanto da uno zero visualizzato. Poiché l’input è già un polinomio, il calcolatore ricava anche un riferimento esatto integrando analiticamente ogni monomio e valutando la primitiva ai due estremi. absolute_error è la differenza non negativa fra tale riferimento e la quadratura. Nei casi teoricamente esatti possono comparire piccoli residui, perché i numeri JavaScript usano aritmetica in virgola mobile a precisione finita. Usi il confronto per studiare l’effetto di grado, ampiezza dell’intervallo e simmetria su una regola fissa. Con gradi impegnativi o coefficienti grandi, riscalare la variabile può ridurre overflow e sensibilità agli arrotondamenti.