Calculadora del determinante hessiano

Después aplica la prueba de la segunda derivada cuando el punto es crítico y distingue entre mínimo local, máximo local, punto de silla o resultado no concluyente. Todas las derivadas se obtienen analíticamente del polinomio, sin estimarlas mediante muestras cercanas, por lo que la salida sirve para revisar ejercicios, preparar material docente e incorporar validaciones matemáticas previsibles a una aplicación.

Introduzca la función y el punto en un formato admitido

Escriba la función como un polinomio desarrollado en x e y e indique valores numéricos finitos para las dos coordenadas. Se admiten entradas como x^2 + 3xy + 2y^2, 4*x^3*y - 7xy + 5 y f(x,y)=x^2-y^2. Los signos de multiplicación entre factores ordinarios son opcionales, y tanto ^ como ** pueden preceder a un exponente entero no negativo. También se aceptan coeficientes decimales y notación científica. El analizador rechaza deliberadamente paréntesis, divisiones entre variables, potencias negativas o fraccionarias, coeficientes simbólicos y funciones con nombre, como seno, logaritmo o exponencial. Una gramática explícita evita que una expresión no compatible se interprete solo en parte o de forma aproximada. Los términos semejantes se combinan internamente; por tanto, x^2 + 2x^2 se procesa como 3x^2. Las coordenadas deben ser números finitos reales, no cadenas numéricas, infinito ni valores ausentes. Los límites de longitud, cantidad de términos y grado mantienen acotada cada solicitud. Si la función no es polinómica, simplifíquela únicamente cuando la transformación sea matemáticamente exacta; en otro caso, utilice una herramienta adecuada para esa familia de funciones.

Comprenda el cálculo del determinante hessiano

Para una función f(x,y), la calculadora evalúa primero las componentes fx y fy del gradiente. A continuación vuelve a derivar para obtener fxx, fxy, fyx y fyy. En un polinomio, las derivadas parciales mixtas coinciden, de modo que fxy y fyx se devuelven con el mismo valor. Estas cuatro entradas forman la matriz hessiana de dos por dos. Su determinante es D=fxx por fyy menos el cuadrado de fxy. La implementación deriva cada coeficiente y potencia término a término, evalúa las derivadas resultantes en las coordenadas indicadas y normaliza residuos insignificantes de coma flotante para ofrecer una salida estable. No estima pendientes mediante un tamaño de paso, por lo que no hay que elegir un intervalo de diferencias finitas ni aparece error de truncamiento por muestrear puntos vecinos. La respuesta incluye el valor de la función, el gradiente, las entradas del hessiano y el determinante, para que usted pueda auditar el cálculo en vez de recibir únicamente una etiqueta. Puede verificar el determinante multiplicando las entradas diagonales devueltas y restando fxy por fyx. Toda operación debe conservar valores finitos; si las magnitudes desbordan la aritmética numérica ordinaria, la solicitud se rechaza en lugar de devolver infinito o un valor nulo inútil.

Aplique e interprete la prueba de la segunda derivada

La prueba de la segunda derivada solo clasifica un punto después de comprobar que el gradiente es cero. Por eso, la calculadora devuelve un indicador critical y comunica not_critical_point cuando alguna derivada parcial primera no es nula, aunque el determinante hessiano resulte positivo o negativo. En un punto crítico, un determinante positivo con fxx positivo indica un mínimo local; si el determinante es positivo y fxx negativo, indica un máximo local. Un determinante negativo señala un punto de silla porque la superficie se curva en sentidos opuestos. Cuando el determinante es cero, la prueba no es concluyente: el punto todavía podría ser mínimo, máximo, silla o ninguno de ellos, pero habría que estudiar términos de orden superior. Esta distinción es importante, pues cero no demuestra que no ocurra nada. Los resultados emplean etiquetas concisas legibles por máquinas para facilitar pruebas en programas educativos o procesos automatizados, y conservan visibles todos los valores para una revisión humana. El cálculo en el navegador es gratuito y las solicitudes API automatizadas aplican el precio base publicado de $0.002. Como la ejecución no usa red, azar, estado guardado ni reloj, una misma entrada válida genera el mismo resultado estructurado en todos los canales compatibles.