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ヘッセ行列式計算機

ヘッセ行列式計算機は、2変数多項式を指定された点で評価し、2つの一階偏導関数を求め、完全な2行2列のヘッセ行列とその行列式を計算します。指定点が臨界点であれば二階微分判定を適用し、極小、極大、鞍点、判定不能のいずれかを示します。導関数は近傍の標本値から近似するのではなく、多項式から解析的に算出します。そのため、多変数微積分の演習確認、教材の作成、アプリケーションにおける再現可能な数学的検証にご利用いただけます。

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ご利用方法ウェブAPIメールTelegramアプリ近日

対応する形式で関数と点をご入力ください

関数はxとyについて展開された多項式として記述し、両方の座標には有限の数値をご指定ください。x^2 + 3xy + 2y^2、4*x^3*y - 7xy + 5、f(x,y)=x^2-y^2などを入力できます。通常の因子間にある乗算記号は省略でき、非負整数の指数には^または**をご使用いただけます。小数係数と科学表記にも対応しています。一方、括弧、変数による除算、負または分数のべき、記号係数、sin・log・expなどの名前付き関数は意図的に受け付けません。対応文法を明確に限定することで、未対応の式を部分的または近似的に解釈してしまうことを防ぎます。同類項は内部でまとめられるため、x^2 + 2x^2は3x^2として処理されます。座標欄には有限の数値そのものが必要であり、数値文字列、無限大、未指定値は使用できません。式の長さ、項数、次数には上限があり、各リクエストの処理量を制限しています。関数が多項式でない場合は、数学的に完全に同値な変形が可能な場合に限って簡約し、それ以外では対象の関数族に対応した別の手段をご利用ください。

ヘッセ行列式の計算内容をご確認ください

関数f(x,y)に対して、まず勾配の成分fxとfyを評価します。次にもう一度偏微分し、fxx、fxy、fyx、fyyを求めます。多項式では混合偏導関数が一致するため、fxyとfyxには同じ値が返されます。この4要素が2行2列のヘッセ行列を構成します。その行列式はD=fxx×fyy-fxy^2です。実装では各項の係数とべきを解析的に微分し、得られた導関数を指定座標で評価したうえで、ごく小さな浮動小数点残差を正規化し、安定した出力にしています。刻み幅を使った傾きの推定ではないため、有限差分の間隔を選ぶ必要がなく、近傍点の標本化による打切り誤差もありません。応答には関数値、勾配、ヘッセ行列の要素、行列式が含まれるので、分類名だけでなく計算過程の数値も検証できます。返された対角要素を掛け、そこからfxy×fyxを引けば、行列式を直接ご確認いただけます。すべての演算結果は有限でなければならず、通常の数値範囲を超える入力は、無限大や利用不能なnullを返さず入力エラーとして扱います。

二階微分判定を正しく解釈してください

二階微分判定で点を分類できるのは、勾配がゼロであることを確認した後だけです。そのため、本計算機はcriticalフラグを返し、一階偏導関数のどちらかがゼロでなければ、ヘッセ行列式が正でも負でもnot_critical_pointと表示します。臨界点では、行列式が正かつfxxが正なら極小、行列式が正かつfxxが負なら極大です。行列式が負なら、曲面が互いに反対の方向へ曲がるため鞍点です。行列式がゼロの場合、判定は不能です。その点が極小、極大、鞍点、またはいずれでもない可能性が残り、高次項などの追加分析が必要になります。ゼロは何も起きていないことの証明ではないため、この区別は重要です。結果には機械処理しやすい簡潔な分類名を使用しながら、人が確認できるよう関連する数値をすべて表示します。ブラウザーでの計算は無料で、自動化されたAPIリクエストには公開基本料金$0.002が適用されます。ネットワーク、乱数、保存状態、時計を使用しないため、同じ有効な入力からは常に同じ構造化結果が得られます。

活用例

多変数微積分の演習を確認

手計算した勾配、ヘッセ行列式、臨界点分類を、決定論的な解析結果と比較してご確認いただけます。

授業用の例題を作成

極小、極大、鞍点、判定不能の各ケースについて、計算を追跡できる例題を作成できます。

最適化ロジックを検証

教育ソフトウェア、テスト、レポート、記号処理工程に、処理量を制限した多項式の二階微分検査を追加できます。

よくある質問

2変数のヘッセ行列式はどのような式ですか？

fxx、fxy、fyx、fyyからなるヘッセ行列の行列式は、fxx×fyy-fxy×fyxです。多項式では混合偏導関数が一致するため、fxx×fyy-fxy^2となります。

結果がnot_critical_pointになるのはなぜですか？

二階微分判定は、2つの一階偏導関数がともにゼロの場合だけ適用できます。行列式は返しますが、臨界点でない点を極値や鞍点には分類しません。

ヘッセ行列式がゼロとはどういう意味ですか？

二階微分判定だけでは結論を出せないという意味です。点を分類するには、高次項を調べるか、別の方法を適用する必要があります。

どのような関数に対応していますか？

数値係数と非負整数のべきを持つ、xとyについて展開された多項式に対応します。括弧、変数を含む分母、分数べき、名前付き超越関数には対応しません。

導関数は数値的に近似しますか？

いいえ。多項式から係数と指数を取り出し、各単項式を解析的に微分してから、指定点で評価します。

APIでの計算料金はいくらですか？

基本料金は1リクエスト当たり$0.002です。同じ決定論的計算をブラウザーでは無料で実行できます。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/hessian-determinant

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/hessian-determinant \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"function":"x^2 + 3xy + 2y^2","x":0,"y":0}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/hessian-determinant", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "function": "x^2 + 3xy + 2y^2",
    "x": 0,
    "y": 0
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/hessian-determinant",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "function": "x^2 + 3xy + 2y^2",
    "x": 0,
    "y": 0
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/hessian-determinant", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"function":"x^2 + 3xy + 2y^2","x":0,"y":0}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"function":"x^2 + 3xy + 2y^2","x":0,"y":0}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/hessian-determinant", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "function": "x^2 + 3xy + 2y^2",
  "x": 0,
  "y": 0
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.hessian_determinant",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

制限

`max_chars`	2000
`max_terms`	1000
`max_degree`	1000

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

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