Hesse-Determinante berechnen

Anschließend wendet er an kritischen Punkten den Test der zweiten Ableitung an und unterscheidet lokales Minimum, lokales Maximum, Sattelpunkt und unentscheidbaren Fall. Sämtliche Ableitungen werden analytisch aus dem Polynom gewonnen und nicht anhand benachbarter Werte geschätzt. Die Ausgabe eignet sich daher zum Prüfen von Übungsaufgaben, zum Erstellen von Lehrmaterial und für eine berechenbare mathematische Validierung in Anwendungen.

Geben Sie Funktion und Punkt in unterstützter Form ein

Schreiben Sie die Funktion als ausmultipliziertes Polynom in x und y und geben Sie für beide Koordinaten endliche Zahlenwerte an. Eingaben wie x^2 + 3xy + 2y^2, 4*x^3*y - 7xy + 5 und f(x,y)=x^2-y^2 werden akzeptiert. Multiplikationszeichen zwischen gewöhnlichen Faktoren sind optional; ^ oder ** können einen nichtnegativen ganzzahligen Exponenten einleiten. Dezimalkoeffizienten und wissenschaftliche Schreibweise werden ebenfalls unterstützt. Der Parser lehnt Klammern, Division durch Variablen, negative oder gebrochene Potenzen, symbolische Koeffizienten sowie benannte Funktionen wie Sinus, Logarithmus oder Exponentialfunktion bewusst ab. Die klar begrenzte Grammatik verhindert, dass ein nicht unterstützter Ausdruck nur teilweise oder näherungsweise interpretiert wird. Gleichartige Terme werden intern zusammengefasst, sodass x^2 + 2x^2 als 3x^2 verarbeitet wird. Die Koordinatenfelder müssen echte endliche Zahlen enthalten, keine Zahlenzeichenfolgen, Unendlichkeitswerte oder fehlenden Angaben. Grenzen für Ausdruckslänge, Termanzahl und Grad beschränken jede Anfrage. Ist Ihre Funktion kein Polynom, sollten Sie sie nur dann vereinfachen, wenn die Umformung mathematisch exakt ist; andernfalls benötigen Sie ein Werkzeug für die entsprechende Funktionsklasse.

So wird die Hesse-Determinante berechnet

Für eine Funktion f(x,y) wertet der Rechner zunächst die Gradientenkomponenten fx und fy aus. Danach differenziert er erneut und erhält fxx, fxy, fyx und fyy. Bei einem Polynom stimmen die gemischten partiellen Ableitungen überein, deshalb werden fxy und fyx mit demselben Wert ausgegeben. Diese vier Einträge bilden die Hesse-Matrix im Format zwei mal zwei. Ihre Determinante lautet D=fxx mal fyy minus dem Quadrat von fxy. Die Implementierung differenziert jeden Koeffizienten und jede Potenz gliedweise, wertet die entstandenen Ableitungen an den angegebenen Koordinaten aus und normalisiert unbedeutende Gleitkommareste für eine stabile Ausgabe. Steigungen werden nicht mit einer Schrittweite geschätzt; Sie müssen daher kein Intervall für endliche Differenzen wählen, und es entsteht kein Abbruchfehler durch benachbarte Stichproben. Die Antwort enthält Funktionswert, Gradient, Hesse-Einträge und Determinante, sodass Sie die Rechnung prüfen können und nicht lediglich eine Klassifikationsbezeichnung erhalten. Zur Kontrolle multiplizieren Sie die zurückgegebenen Diagonaleinträge und ziehen fxy mal fyx ab. Die gesamte Arithmetik muss endlich bleiben; Größen außerhalb des normalen Zahlenbereichs werden abgelehnt, statt einen unbrauchbaren Unendlichkeits- oder Nullwert zu liefern.

Wenden Sie den Test der zweiten Ableitung richtig an

Der Test der zweiten Ableitung klassifiziert einen Punkt erst, nachdem ein Gradient von null bestätigt wurde. Daher gibt der Rechner das Kennzeichen critical zurück und meldet not_critical_point, sobald eine der ersten partiellen Ableitungen ungleich null ist, selbst wenn die Hesse-Determinante positiv oder negativ ausfällt. An einem kritischen Punkt weist eine positive Determinante zusammen mit positivem fxx auf ein lokales Minimum hin; bei positiver Determinante und negativem fxx liegt ein lokales Maximum vor. Eine negative Determinante kennzeichnet einen Sattelpunkt, weil sich die Fläche in entgegengesetzte Richtungen krümmt. Ist die Determinante null, bleibt der Test unentscheidbar: Der Punkt kann weiterhin Minimum, Maximum, Sattelpunkt oder keines davon sein, doch eine Untersuchung höherer Ordnung ist erforderlich. Diese Unterscheidung ist wichtig, denn null beweist nicht, dass nichts geschieht. Kurze maschinenlesbare Bezeichnungen erleichtern Prüfungen in Lernsoftware und automatisierten Abläufen, während alle beteiligten Zahlen zur menschlichen Kontrolle sichtbar bleiben. Browserberechnungen sind kostenlos; automatisierte API-Anfragen verwenden den veröffentlichten Grundpreis von $0.002. Da weder Netzwerk, Zufall, gespeicherter Zustand noch Uhr verwendet werden, erzeugt dieselbe gültige Eingabe stets dasselbe strukturierte Ergebnis.