Método de Steffensen para hallar raíces

Introduzca una expresión para f(x), elija el valor inicial y los criterios de parada, y obtendrá la estimación final junto con el historial completo de iteraciones. El método aplica una corrección al estilo de Aitken construida con f(x) y f(x + f(x)); cerca de una raíz simple adecuada puede alcanzar convergencia cuadrática usando solo valores de la función. El resultado estructurado sirve para estudiar, verificar y automatizar cálculos numéricos reproducibles.

Introduzca la función y una estimación inicial razonable

Escriba la función como una expresión en x, por ejemplo x^2 - 2, cos(x) - x o exp(-x) - x. La multiplicación debe ser explícita: use 2*x en vez de 2x. El analizador admite números decimales y notación científica, paréntesis, +, -, *, /, potencias con ^, las constantes pi y e, y funciones de un argumento como sin, cos, tan, exp, log, log10, sqrt y abs. No ejecuta JavaScript ni acepta asignaciones como f(x)=. Proporcione en initial_guess un número finito suficientemente próximo a la raíz buscada. Steffensen es un método abierto: a diferencia de la bisección, no parte de un intervalo que encierre una raíz. Distintos valores iniciales pueden llevar a ceros diferentes, a una singularidad o fuera del dominio útil. Una gráfica, un examen de signos o una estimación matemática ayudan a elegirlo. tolerance fija el residuo y el cambio relativo aceptables; max_iterations impone un límite estricto. Elija una tolerancia acorde con la precisión real de sus datos, no con una cantidad de cifras injustificada.

Comprenda la actualización de Steffensen y Aitken

En la estimación actual x, la calculadora evalúa primero f(x) y después la función en el punto desplazado x + f(x). La diferencia f(x + f(x)) - f(x) forma el denominador; la nueva estimación es x menos f(x) al cuadrado dividido por ese denominador. Esta construcción puede entenderse como una aceleración de Aitken aplicada a una iteración de punto fijo y aproxima el efecto de un paso de Newton sin calcular f'(x). Para una función bastante suave, una raíz simple y un punto inicial apropiado, la convergencia local suele ser cuadrática: al acercarse, el número de cifras correctas puede crecer con rapidez. Esto no garantiza convergencia global. Un denominador cero hace indefinida la actualización, y uno diminuto puede causar un salto enorme. La herramienta rechaza denominadores exactamente nulos y valores no finitos. Cada fila del historial muestra x, f(x), el punto desplazado, su valor funcional, el denominador, la estimación siguiente y el residuo siguiente. Así puede reproducir la fórmula, observar la aceleración y localizar la iteración que falla.

Interprete la convergencia y valide el resultado

El campo converged pasa a true cuando el nuevo residuo no supera tolerance o cuando el cambio es pequeño respecto de la escala de la estimación nueva. root y f_root contienen la última estimación y su residuo evaluado; iterations cuenta las actualizaciones completadas. Si el valor inicial ya satisface la prueba del residuo, se devuelven cero iteraciones y un historial vacío. Cuando se agota el límite, converged vale false y se conservan la última estimación finita y todo el historial: el agotamiento nunca se presenta como éxito. Examine siempre f_root, pues un cambio pequeño puede deberse al estancamiento numérico sin que el residuo sea satisfactorio. En trabajos importantes, sustituya la raíz en la fórmula original, repita desde un valor cercano y compare con un método de acotación. Las raíces múltiples pueden reducir el orden de convergencia; las discontinuidades, dominios restringidos, regiones planas o fórmulas mal escaladas pueden impedirla. La aritmética de coma flotante también limita la precisión útil. Esta calculadora numérica no demuestra que una raíz exista, sea única o tenga una cota de error garantizada; esas afirmaciones requieren analizar continuidad, derivadas, intervalos y condicionamiento.