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Calculadora de centro de massa pela densidade

Esta calculadora encontra o centro de massa de uma barra unidimensional cuja densidade linear é dada por um polinômio.

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Informe os coeficientes e as extremidades esquerda e direita. A ferramenta calcula analiticamente a integral da massa total e a integral do primeiro momento e divide o momento pela massa. Ela também apresenta as duas integrais, permitindo que você confira o resultado em cálculo, mecânica, engenharia ou atividades automatizadas.

Descreva a barra com uma densidade polinomial

Escreva a densidade linear como um polinômio da posição x e informe os coeficientes da maior potência até o termo constante. Por exemplo, [2, 1] significa rho(x) = 2x + 1, enquanto [3, 0, -2] significa rho(x) = 3x squared - 2. Mantenha zeros explícitos quando uma potência estiver ausente, evitando dúvidas sobre o grau. Os limites inferior e superior localizam as extremidades no mesmo eixo usado pela fórmula, e o limite superior deve ser estritamente maior. Todos os valores devem ser números finitos, e a integral de massa precisa ser positiva. Se x estiver em metros e a densidade em quilogramas por metro, a massa sairá em quilogramas, o primeiro momento em quilograma-metros e o centro em metros. A calculadora não atribui nem converte unidades; use um sistema coerente. Uma densidade linear física também deve permanecer não negativa em toda a barra, condição que você deve verificar ao escolher o polinômio.

Como as integrais de massa e momento são calculadas

Para uma barra entre a e b com densidade rho(x), a massa total é a integral definida de rho(x) nesse intervalo. O primeiro momento em relação à origem é a integral de x vezes rho(x) nos mesmos limites. A calculadora integra cada termo pela regra da potência. Se um termo da densidade for c vezes x elevado a n, sua contribuição para a massa é c vezes x elevado a n mais um, dividido por n mais um, avaliado nas duas extremidades. Para o primeiro momento, a multiplicação por x aumenta primeiro cada expoente em uma unidade. Depois, aplica-se x-bar = primeiro momento dividido pela massa total. Não há malha de amostragem, solução iterativa, interpretação simbólica nem quadratura numérica; portanto, não existe passo ou tolerância para configurar. A resposta mostra total_mass e first_moment, facilitando a conferência da primitiva, a descoberta de um coeficiente deslocado e o acompanhamento das unidades. Operações que ultrapassem o intervalo numérico aceito são recusadas em vez de retornar infinito.

Interprete o ponto de equilíbrio e valide o modelo

O campo center_of_mass é a coordenada na qual a barra se equilibraria segundo a densidade fornecida. Para densidade positiva constante, o valor coincide com o ponto médio, pois comprimentos iguais contêm massas iguais. Se a densidade cresce para a direita, o centro normalmente se desloca para a direita; se a região esquerda for mais pesada, ele se desloca para a esquerda. Essas verificações intuitivas ajudam a identificar erros. Em um modelo físico de densidade não negativa e massa positiva, o centro deve ficar entre as extremidades. Um valor externo ou inesperado costuma indicar coeficientes em ordem crescente, coordenadas incompatíveis ou um polinômio negativo em parte do intervalo. O serviço exige massa integral positiva, mas não prova a não negatividade ponto a ponto; cabe a você validar a adequação física. Confira o grau e os limites retornados, preserve o valor sem arredondamento em cálculos posteriores e arredonde apenas na apresentação, conforme a precisão das medições originais.

Casos de uso

Conferir um exercício de cálculo

Verifique a massa total, o primeiro momento e a razão final após integrar manualmente uma densidade polinomial.

Localizar o equilíbrio de uma barra

Descubra onde uma barra não uniforme se equilibra quando sua densidade linear medida segue um modelo polinomial.

Gerar resultados didáticos determinísticos

Produza respostas auditáveis para exemplos polinomiais sem parâmetros de integração numérica.

Perguntas frequentes

Em que ordem devo informar os coeficientes?

Informe-os em potências decrescentes de x e inclua coeficientes zero para potências ausentes.

Qual fórmula a calculadora usa?

Ela integra x vezes a densidade e divide esse primeiro momento pela integral da densidade, que corresponde à massa total.

A densidade precisa ser constante?

Não. Ela pode ser qualquer polinômio dentro do limite declarado, desde que a integral da massa seja positiva e o modelo seja fisicamente adequado.

A ferramenta verifica se a densidade nunca é negativa?

Não. Uma massa total não positiva é recusada, mas você deve confirmar separadamente que a densidade é não negativa em todo o intervalo.

A barra pode começar em uma coordenada negativa?

Sim. Qualquer extremidade pode ser negativa, desde que o limite superior seja maior que o inferior e todos os valores sejam finitos.

Quanto custa um cálculo pela API?

Cada cálculo pela API custa US$ 0,002; o mesmo cálculo determinístico pode ser executado no navegador.

Para desenvolvedores — acesso via API

Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/center-of-mass-1d

Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.

Chame do seu código

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/center-of-mass-1d \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"density_coefficients":[2,1],"lower_bound":0,"upper_bound":3}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/center-of-mass-1d", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "density_coefficients": [
      2,
      1
    ],
    "lower_bound": 0,
    "upper_bound": 3
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/center-of-mass-1d",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "density_coefficients": [
        2,
        1
    ],
    "lower_bound": 0,
    "upper_bound": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/center-of-mass-1d", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"density_coefficients":[2,1],"lower_bound":0,"upper_bound":3}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"density_coefficients":[2,1],"lower_bound":0,"upper_bound":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/center-of-mass-1d", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemplo de requisição

{
  "density_coefficients": [
    2,
    1
  ],
  "lower_bound": 0,
  "upper_bound": 3
}

Exemplo de resposta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.center_of_mass_1d",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.

Preço

por chamadaUS$ 0,002

Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.

Erros

HTTP	Código	O que significa
`401`	`unauthorized`	Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo.
`404`	`unknown_type`	Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo.
`429`	`rate_limited`	Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo.

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