Schwerpunkt aus der Dichte berechnen

Geben Sie die Koeffizienten sowie den linken und rechten Endpunkt ein. Das Werkzeug wertet das Integral der Gesamtmasse und das Integral des ersten Moments analytisch aus und dividiert anschließend das Moment durch die Masse. Beide Integrale werden mit ausgegeben, damit Sie Rechenwege aus Analysis, Mechanik, Ingenieurwesen oder automatisierten Übungen nachvollziehen können.

Beschreiben Sie den Stab durch ein Dichtepolynom

Stellen Sie die lineare Massendichte als Polynom der Position x dar und geben Sie die Koeffizienten von der höchsten Potenz bis zum konstanten Glied ein. Beispielsweise bedeutet [2, 1] rho(x) = 2x + 1, während [3, 0, -2] für rho(x) = 3x squared - 2 steht. Behalten Sie für fehlende Potenzen ausdrückliche Nullen bei, damit der Grad eindeutig bleibt. Untere und obere Grenze kennzeichnen die Stabenden auf derselben Koordinatenachse wie die Dichteformel; die obere Grenze muss strikt größer sein. Alle Werte müssen endlich sein, und das Masseintegral muss positiv ausfallen. Wird x in Metern und die Dichte in Kilogramm pro Meter angegeben, ergibt sich die Masse in Kilogramm, das erste Moment in Kilogrammmetern und der Schwerpunkt in Metern. Der Rechner weist keine Einheiten zu und rechnet sie nicht um. Verwenden Sie deshalb durchgehend ein einheitliches System und prüfen Sie bei einem physikalischen Modell zusätzlich, dass die Dichte im gesamten Intervall nicht negativ wird.

So werden Masse und erstes Moment integriert

Für einen Stab von a bis b mit der Dichte rho(x) ist die Gesamtmasse das bestimmte Integral von rho(x) über dieses Intervall. Das erste Moment bezüglich des Ursprungs ist das Integral von x mal rho(x) über dieselben Grenzen. Der Rechner integriert jedes Polynomglied direkt mit der Potenzregel. Ein Term c mal x hoch n trägt zur Masse mit c mal x hoch n plus eins, geteilt durch n plus eins und an beiden Grenzen ausgewertet, bei. Für das erste Moment erhöht die Multiplikation mit x zunächst jeden Exponenten um eins. Danach gilt x-bar = erstes Moment geteilt durch Gesamtmasse. Es werden weder Stützstellen noch Iterationen, ein symbolischer Parser oder numerische Quadratur verwendet; Schrittweite und Konvergenztoleranz entfallen. Die Felder total_mass und first_moment machen die Stammfunktion, falsch eingeordnete Koeffizienten und die Einheiten nachvollziehbar. Überschreitet eine Operation den unterstützten Zahlenbereich, wird sie abgelehnt, statt einen unbrauchbaren Unendlichkeitswert auszugeben.

Deuten Sie den Gleichgewichtspunkt und prüfen Sie das Modell

center_of_mass bezeichnet die Koordinate, an der sich der Stab gemäß dem angegebenen Dichtemodell ausbalancieren würde. Bei konstanter positiver Dichte ist dies der Mittelpunkt, weil gleich lange Abschnitte gleich viel Masse enthalten. Nimmt die Dichte nach rechts zu, verschiebt sich der Schwerpunkt gewöhnlich nach rechts; ist die linke Seite schwerer, wandert er nach links. Solche Plausibilitätsprüfungen decken Eingabefehler schnell auf. Bei überall nicht negativer Dichte und positiver Masse muss der Schwerpunkt zwischen den Endpunkten liegen. Eine unerwartete Lage deutet oft auf Koeffizienten in aufsteigender Reihenfolge, unvereinbare Koordinaten oder negative Polynomwerte hin. Der Dienst verlangt ein positives Masseintegral, beweist jedoch nicht die punktweise Nichtnegativität. Prüfen Sie daher selbst die physikalische Eignung. Kontrollieren Sie außerdem den zurückgegebenen Grad und die Grenzen, verwenden Sie den ungerundeten Wert für Folgerechnungen und runden Sie erst bei der Darstellung entsprechend der Messgenauigkeit.