Rechner für die Simpson-Drei-Achtel-Regel

Er wendet das zusammengesetzte 3/8-Gewichtungsschema auf das gesamte Intervall an; die Zahl der Teilintervalle muss durch drei teilbar sein. Das Ergebnis enthält Näherungswert, Schrittweite, Knotenzahl und gewichtete Summe. Damit eignet es sich für eine schnelle Berechnung ebenso wie zur Kontrolle einer Aufgabe oder Implementierung zur numerischen Integration.

Geben Sie Funktion und Intervall eindeutig ein

Schreiben Sie den Integranden als Ausdruck in x und geben Sie eine endliche Unter- und Obergrenze an. Multiplikationen müssen ausdrücklich notiert werden: Verwenden Sie 2*x statt 2x. Der Parser unterstützt die üblichen Rechenarten, Klammern, Potenzen mit dem Zeichen ^, die Konstanten pi und e sowie einstellige Funktionen wie sin, cos, tan, exp, log, log10, sqrt und abs. Diese klar begrenzte Syntax hält die Berechnung deterministisch und verhindert die Ausführung beliebigen Codes. Beispielsweise ist x^3 + 2*x im Intervall von null bis drei eine gültige Eingabe. Sie dürfen die Grenzen auch vertauschen; dadurch ändert sich wie bei einem exakten bestimmten Integral das Vorzeichen der Näherung. Jeder abgetastete Funktionswert muss endlich sein. Ergibt der Ausdruck an einem Knoten wegen einer Singularität, einer ungültigen Quadratwurzel, einer Division durch null oder aus einem anderen Grund keinen endlichen Wert, meldet der Rechner einen konkreten Eingabefehler, statt eine irreführende Zahl auszugeben. Prüfen Sie beim Übertragen gedruckter Formeln besonders sorgfältig Klammern und Multiplikationszeichen.

Wählen Sie eine durch drei teilbare Intervallzahl

Die zusammengesetzte Simpson-Drei-Achtel-Regel zerlegt das Integrationsintervall in gleich große Teilintervalle. Ihr Grundsegment umfasst drei Teilintervalle und vier Knoten. Deshalb muss die Gesamtzahl der Teilintervalle ein positives Vielfaches von drei sein, etwa 3, 6 oder 9. Bezeichnet n diese Zahl, verwendet der Rechner einschließlich beider Endpunkte n + 1 Knoten. Er berechnet die einheitliche Schrittweite h = (b - a) / n und weist den Endpunkten das Gewicht eins zu. Innere Knoten, deren Index durch drei teilbar ist, erhalten das Gewicht zwei; alle übrigen inneren Knoten erhalten das Gewicht drei. Die abschließende gewichtete Summe wird mit 3h/8 multipliziert. Ein größeres n verbessert bei hinreichend glatten Funktionen häufig die Näherung, ist jedoch keine allgemeine Garantie, wenn die Funktion stark oszilliert, Unstetigkeiten enthält oder sich im Bereich problematisch verhält. Vergleichen Sie Ergebnisse mit steigenden gültigen Werten wie 6, 12 und 24, um die praktische Stabilität zu beurteilen, anstatt zusätzlichen Dezimalstellen automatisch zu vertrauen. Die Obergrenze hält die Ausführung zuverlässig beschränkt.

Deuten und überprüfen Sie die ausgegebene Berechnung

Das wichtigste Ergebnis ist approximation, also die vorzeichenbehaftete Schätzung des bestimmten Integrals. Zusätzlich nennt die Antwort step_size, subintervals, node_count und weighted_sum. So können Sie den Ansatz prüfen oder die abschließende Multiplikation unabhängig nachvollziehen. Bei exakter Arithmetik liefert die Simpson-Drei-Achtel-Regel für Polynome bis zum Grad drei ein exaktes Ergebnis; kubische Beispiele eignen sich daher besonders gut als Kontrollfälle. Bei anderen glatten Funktionen hängt der Fehler von höheren Ableitungen und der gewählten Schrittweite ab. Eine plausibel aussehende Dezimalzahl beweist weder eine fehlerfreie Funktionseingabe noch ein ausreichend feines Gitter. Kontrollieren Sie die Richtung des Intervalls, stellen Sie sicher, dass die Funktion im gesamten Bereich endlich und glatt bleibt, und wiederholen Sie die Rechnung mit einem größeren Vielfachen von drei. Falls eine Stammfunktion bekannt ist, können Sie damit vergleichen oder ein anderes numerisches Verfahren heranziehen. Die API nutzt denselben deterministischen Löser wie die Browserberechnung und kostet $0.002 pro Anfrage. Automatisierte und interaktive Prüfungen folgen daher demselben arithmetischen Vertrag.