Netto-orientierten Flächeninhalt eines Polynoms berechnen

Geben Sie die Koeffizienten in aufsteigender Potenzreihenfolge und danach die Unter- und Obergrenze ein. Das Ergebnis behält sein Vorzeichen: Abschnitte des Graphen oberhalb der x-Achse tragen positiv bei, Abschnitte darunter negativ. Wenn das Polynom die Achse schneidet, unterscheidet sich die Antwort daher vom gesamten geometrischen Flächeninhalt. Die Berechnung ist deterministisch, wertet direkt eine Stammfunktion aus und gibt neben dem orientierten Endwert auch den effektiven Grad und das Intervall aus.

Was der orientierte Flächeninhalt misst

Der netto-orientierte Flächeninhalt ist der über ein Intervall angesammelte Funktionswert und nicht der räumliche Inhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse. Bei einem Polynom f(x) liefert jeder schmale senkrechte Streifen oberhalb der Achse einen positiven Beitrag, während jeder Streifen unterhalb der Achse einen negativen Beitrag liefert. Das bestimmte Integral fasst diese Beiträge zu einer einzigen Zahl zusammen. Ein Ergebnis von null bedeutet deshalb nicht zwingend, dass der Graph keine Fläche einschließt; positive und negative Bereiche können sich exakt aufheben. Diese Unterscheidung ist in der Analysis grundlegend, weil ein Integral etwa eine Netto-Verschiebung, eine angesammelte Änderung, eine Ladung, einen Fluss oder eine andere richtungsabhängige Größe darstellen kann. Der Rechner bestimmt diese vorzeichenbehaftete Summe im gewünschten Intervall. Liegt der gesamte Graph oberhalb der Achse, entspricht das Ergebnis dem üblichen geometrischen Flächeninhalt. Liegt er vollständig darunter, ist das Ergebnis negativ. Schneidet er die Achse, bildet die Ausgabe die Aufhebung ab, ohne einen Bereich in seinen Absolutwert umzuwandeln.

Polynom und Intervall richtig eingeben

Geben Sie die Koeffizienten in aufsteigender Potenzreihenfolge an. Der erste Wert ist der konstante Koeffizient, der zweite wird mit x multipliziert, der dritte mit x zum Quadrat und so weiter. Beispielsweise steht [-3, 0, 1] für x zum Quadrat minus 3, während [4, -2] für 4 minus 2x steht. Ausdrückliche Nullen sind wichtig, wenn eine mittlere Potenz fehlt, da jede Listenposition einen Exponenten festlegt. Geben Sie anschließend eine endliche Unter- und Obergrenze ein; die Obergrenze muss strikt größer sein. Der Rechner verarbeitet Polynome bis zum Grad 100 und weist nicht numerische Werte, leere Koeffizientenlisten, umgekehrte Intervalle sowie Berechnungen außerhalb des unterstützten Zahlenbereichs zurück. Nachgestellte Nullkoeffizienten sind zulässig und werden beim ausgegebenen Polynomgrad nicht berücksichtigt, sodass [2, 0, 0] korrekt als konstantes Polynom erkannt wird. Dezimale und negative Koeffizienten werden unterstützt. Bei extrem großen Koeffizienten, Grenzen oder Graden können die Grenzen der Gleitkommadarstellung die verfügbare Genauigkeit beeinträchtigen; skalieren Sie außergewöhnliche Größen daher sinnvoll.

Berechnung und Deutung des Ergebnisses

Für jeden Term c multipliziert mit x hoch n lautet eine Stammfunktion: c geteilt durch n plus eins, multipliziert mit x hoch n plus eins. Der Rechner wertet diese Stammfunktion an der Obergrenze aus und zieht ihren Wert an der Untergrenze ab. Damit wendet er den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an. Eine Horner-ähnliche Auswertung vermeidet die getrennte Berechnung zahlreicher Potenzen und hält das Verfahren kompakt und deterministisch. Für den netto-orientierten Flächeninhalt ist keine Nullstellensuche erforderlich, weil das bestimmte Integral das richtige Vorzeichen auf beiden Seiten der x-Achse bereits berücksichtigt. Deuten Sie ein positives Ergebnis als überwiegenden positiven Beitrag, ein negatives als überwiegenden negativen Beitrag und null als exakte oder numerisch dargestellte Aufhebung. Wird stattdessen der gesamte Flächeninhalt verlangt, müssen Sie jeden durch eine reelle Nullstelle getrennten Bereich einzeln integrieren und die Beträge addieren. Das ist eine andere Berechnung: Diese Funktion bewahrt die Vorzeichen bewusst und gibt ausschließlich das Nettoergebnis zurück.