Calcolatore del centro di massa dalla densità

Inserisca i coefficienti e gli estremi sinistro e destro. Lo strumento valuta analiticamente l’integrale della massa totale e quello del primo momento, quindi divide il momento per la massa. Restituisce inoltre entrambi gli integrali, così Lei può controllare il procedimento in esercizi di analisi, meccanica, ingegneria o flussi didattici automatizzati.

Descriva l’asta con una densità polinomiale

Rappresenti la densità lineare come polinomio della posizione x e inserisca i coefficienti dalla potenza più alta al termine costante. Per esempio, [2, 1] indica rho(x) = 2x + 1, mentre [3, 0, -2] indica rho(x) = 3x squared - 2. Mantenga uno zero esplicito per ogni potenza mancante, affinché il grado sia inequivocabile. I limiti inferiore e superiore collocano le estremità dell’asta sullo stesso asse della formula; quello superiore deve essere strettamente maggiore. Tutti i dati devono essere numeri finiti e l’integrale della massa deve risultare positivo. Se x è misurata in metri e la densità in chilogrammi per metro, la massa è in chilogrammi, il primo momento in chilogrammo-metri e il centro in metri. Il calcolatore non assegna né converte unità, quindi usi un sistema coerente. Per un modello fisico verifichi anche che la densità non diventi negativa in alcun punto dell’intervallo.

Come vengono calcolati massa e primo momento

Per un’asta estesa da a a b con densità rho(x), la massa totale è l’integrale definito di rho(x) tra i due estremi. Il primo momento rispetto all’origine è l’integrale di x moltiplicato per rho(x) sullo stesso intervallo. Ogni termine viene integrato direttamente con la regola della potenza. Se un termine è c per x elevato a n, il suo contributo alla massa è c per x elevato a n più uno, diviso per n più uno, valutato agli estremi. Nel primo momento, la moltiplicazione per x aumenta prima l’esponente di uno. Si applica infine x-bar = primo momento diviso massa totale. Non si usano campionamento, iterazioni, interpretazione simbolica o quadratura numerica, perciò non servono passo o tolleranza. I risultati total_mass e first_moment consentono di verificare una primitiva, individuare un coefficiente fuori posto e seguire le unità. Se l’aritmetica supera l’intervallo numerico supportato, la richiesta viene rifiutata anziché restituire un infinito inutilizzabile.

Interpreti il punto di equilibrio e controlli il modello

Il valore center_of_mass è la coordinata in cui l’asta si equilibrerebbe con la densità fornita. Per una densità positiva costante coincide con il punto medio, perché lunghezze uguali contengono masse uguali. Se la densità aumenta verso destra, il centro tende a spostarsi a destra; se è più pesante la parte sinistra, si sposta in quella direzione. Questi controlli intuitivi aiutano a riconoscere gli errori. In un modello fisico con densità non negativa e massa positiva, il centro deve trovarsi fra gli estremi. Una posizione inattesa può indicare coefficienti in ordine crescente, coordinate incoerenti o un polinomio negativo in parte dell’intervallo. Il servizio richiede una massa integrale positiva, ma non dimostra la non negatività in ogni punto: spetta a Lei verificare l’idoneità fisica. Controlli il grado e i limiti restituiti, conservi il valore non arrotondato nei calcoli successivi e arrotondi soltanto nella presentazione, secondo la precisione delle misure originali.