Inéquation cubique : racines, signes et intervalles

Saisissez les coefficients de ax³ + bx² + cx + d et choisissez une comparaison avec zéro. Le résultat énumère les racines réelles distinctes, indique le signe sur chaque intervalle qu'elles délimitent et renvoie l'ensemble solution complet en notation d'intervalles. Il traite les polynômes cubiques ayant une, deux ou trois racines réelles distinctes sans graphique, essai aléatoire ni service externe.

Saisissez le polynôme sous forme standard

Réécrivez l'inéquation afin qu'un membre soit nul et que l'autre prenne la forme ax³ + bx² + cx + d. Saisissez ensuite chaque coefficient réel, y compris zéro lorsqu'un terme manque. Le coefficient dominant a ne peut pas être nul, car l'expression deviendrait alors quadratique ou de degré inférieur. Choisissez < ou > lorsque les racines doivent être exclues, et <= ou >= lorsque l'égalité à une racine réelle appartient à la réponse. Par exemple, x³ - 2x² - 5x + 6 >= 0 se saisit avec a = 1, b = -2, c = -5, d = 6 et l'opérateur >=. Il est important de comparer à zéro : si le membre droit initial n'est pas nul, soustrayez-le d'abord des deux membres, puis regroupez les termes semblables. Vous obtiendrez ainsi les coefficients exacts nécessaires au solveur et éviterez une erreur de signe due au déplacement d'une partie seulement de l'expression. Les coefficients décimaux sont acceptés s'ils sont finis et respectent la limite publiée.

Lisez les racines et le tableau de signes

Un polynôme continu ne peut changer de signe qu'aux points où il s'annule ; ses racines réelles divisent donc la droite numérique en intervalles. Le solveur calcule toutes les racines réelles distinctes grâce à la forme déprimée de la méthode de Cardano, les trie, puis choisit une valeur test strictement intérieure à chaque intervalle obtenu. Il évalue le polynôme initial à cette valeur et qualifie l'intervalle entier de positif ou de négatif. Il s'agit de la méthode du tableau de signes enseignée en algèbre, rendue explicite afin que vous puissiez vérifier la conclusion au lieu de recevoir uniquement une union finale. Une racine multiple n'apparaît qu'une fois, puisqu'elle ne crée qu'une frontière sur la droite. Si sa multiplicité est paire, les signes des intervalles voisins restent identiques ; si elle est impaire, ils s'inversent. Le tableau montre directement ce comportement. Les racines sont normalisées en décimales stables : les racines entières simples restent reconnaissables et les racines irrationnelles reçoivent une approximation déterministe utile.

Interprétez la notation d'intervalles

Les intervalles solutions correspondent exactement aux zones du tableau dont le signe satisfait la comparaison choisie. Des parenthèses signalent une borne exclue, tandis que des crochets indiquent qu'une racine finie est incluse parce que l'opérateur autorise l'égalité. L'infini utilise toujours une parenthèse : c'est une direction et non une borne atteignable. Lorsque plusieurs zones disjointes conviennent, le solveur les relie par le symbole d'union. Le symbole de l'ensemble vide signifie qu'aucun réel ne satisfait la comparaison. Pour exploiter le résultat dans du code, consultez le tableau `solution_intervals`, qui fournit séparément chaque composante ; `solution_set` présente la notation habituelle destinée à la lecture. La méthode est déterministe et n'évalue que les coefficients fournis. Elle convient donc aux exercices corrigés, aux corrigés automatisés et à la validation dans un processus algébrique plus vaste. Comme pour tout calcul numérique cubique, les racines irrationnelles sont approchées ; fiez-vous au tableau de signes plutôt que de considérer une racine arrondie comme une expression radicale symbolique exacte.