Kubische Ungleichungen: Nullstellen und Intervalle

Geben Sie die Koeffizienten von ax³ + bx² + cx + d ein und wählen Sie einen Vergleich mit null. Das Ergebnis nennt die verschiedenen reellen Nullstellen, zeigt das Vorzeichen in jedem dadurch begrenzten Intervall und gibt die vollständige Lösungsmenge in Intervallschreibweise aus. Kubische Polynome mit einer, zwei oder drei verschiedenen reellen Nullstellen werden ohne Graphen, Zufallsversuche oder externe Dienste verarbeitet.

Geben Sie die kubische Form standardisiert ein

Formen Sie die Ungleichung so um, dass eine Seite null ist und die andere die Form ax³ + bx² + cx + d besitzt. Geben Sie anschließend jeden reellen Koeffizienten ein, auch null für fehlende Terme. Der führende Koeffizient a darf nicht null sein, da der Ausdruck sonst quadratisch oder von niedrigerem Grad wäre. Wählen Sie < oder >, wenn Nullstellen ausgeschlossen werden sollen, und <= oder >=, wenn die Gleichheit an einer reellen Nullstelle zur Lösung gehört. Beispielsweise wird x³ - 2x² - 5x + 6 >= 0 mit a = 1, b = -2, c = -5, d = 6 und dem Operator >= eingegeben. Der Vergleich mit null ist wesentlich: Falls die ursprüngliche rechte Seite nicht null ist, ziehen Sie sie zuerst auf beiden Seiten ab und fassen Sie gleichartige Terme zusammen. So entstehen genau die benötigten Koeffizienten, und ein Vorzeichenfehler durch das Verschieben nur eines Teils des Ausdrucks wird vermieden. Endliche Dezimalkoeffizienten innerhalb des veröffentlichten Grenzwerts sind zulässig.

Lesen Sie Nullstellen und Vorzeichentabelle

Ein stetiges Polynom kann sein Vorzeichen nur dort wechseln, wo es null ist. Seine reellen Nullstellen teilen die Zahlengerade daher in Intervalle. Der Rechner bestimmt mit der reduzierten kubischen Form des Cardano-Verfahrens alle verschiedenen reellen Nullstellen, sortiert sie und wählt in jedem entstehenden Intervall einen strikt innen liegenden Testwert. Das ursprüngliche Polynom wird an diesem Wert ausgewertet und das gesamte Intervall als positiv oder negativ markiert. Dies ist das aus der Algebra bekannte Verfahren der Vorzeichentabelle, hier ausdrücklich dargestellt, damit Sie das Ergebnis prüfen können und nicht nur eine abschließende Vereinigung erhalten. Eine mehrfache Nullstelle erscheint einmal, weil sie auf der Zahlengeraden nur eine Grenze erzeugt. Bei gerader Vielfachheit bleiben die Vorzeichen der benachbarten Intervalle gleich, bei ungerader wechseln sie. Die Tabelle macht dieses Verhalten unmittelbar sichtbar. Die Nullstellen werden als stabile Dezimalwerte normalisiert: Einfache ganzzahlige Werte bleiben erkennbar, irrationale Werte erhalten eine nützliche deterministische Näherung.

Deuten Sie die Intervallschreibweise

Die Lösungsintervalle sind genau jene Bereiche der Tabelle, deren Vorzeichen den gewählten Vergleich erfüllt. Runde Klammern bedeuten, dass eine Grenze ausgeschlossen ist; eckige Klammern zeigen, dass eine endliche Nullstelle einbezogen wird, weil der Operator Gleichheit zulässt. Bei unendlich steht stets eine runde Klammer, denn es handelt sich um eine Richtung und nicht um einen erreichbaren Endpunkt. Wenn mehrere getrennte Bereiche passen, verbindet der Rechner sie mit dem Vereinigungszeichen. Das Zeichen für die leere Menge bedeutet, dass keine reelle Zahl den Vergleich erfüllt. Für die Verarbeitung im Code nutzen Sie das Array `solution_intervals`; es liefert jede Komponente einzeln, während `solution_set` die vertraute menschenlesbare Schreibweise enthält. Das Verfahren ist deterministisch und wertet ausschließlich die angegebenen Koeffizienten aus. Dadurch eignet es sich für durchgerechnete Aufgaben, automatische Lösungsschlüssel und Prüfungen in umfangreicheren Algebraabläufen. Wie bei jeder numerischen Berechnung kubischer Gleichungen sind irrationale Nullstellen Näherungen; verwenden Sie die Vorzeichentabelle, statt einen gerundeten Wert als exakten symbolischen Wurzelausdruck zu behandeln.