Inecuaciones cúbicas: raíces, signos e intervalos

Introduzca los coeficientes de ax³ + bx² + cx + d y elija una comparación con cero. El resultado enumera las raíces reales distintas, muestra el signo en cada intervalo delimitado por ellas y devuelve el conjunto solución completo en notación de intervalos. Admite cúbicas con una, dos o tres raíces reales distintas sin recurrir a gráficas, tanteos aleatorios ni servicios externos.

Introduzca la cúbica en forma estándar

Reescriba la inecuación de modo que un miembro sea cero y el otro tenga la forma ax³ + bx² + cx + d. A continuación, introduzca cada coeficiente real, incluidos los ceros de los términos ausentes. El coeficiente principal a no puede ser cero, pues entonces la expresión sería cuadrática o de menor grado. Elija < o > cuando las raíces deban excluirse, y <= o >= cuando la igualdad en una raíz real forme parte de la respuesta. Por ejemplo, x³ - 2x² - 5x + 6 >= 0 se introduce con a = 1, b = -2, c = -5, d = 6 y el operador >=. Es esencial conservar la comparación con cero: si el miembro derecho original no es cero, réstelo primero de ambos miembros y reduzca los términos semejantes. Así obtendrá los coeficientes exactos que necesita el solucionador y evitará errores de signo al trasladar solo parte de una expresión. Se admiten coeficientes decimales finitos dentro del límite publicado.

Lea las raíces y la tabla de signos

Un polinomio continuo solo puede cambiar de signo donde vale cero; por ello, sus raíces reales dividen la recta numérica en intervalos. El solucionador obtiene todas las raíces reales distintas mediante la forma cúbica reducida del método de Cardano, las ordena y escoge un valor de prueba estrictamente interior a cada intervalo resultante. Evalúa el polinomio original en dicho valor y marca todo el intervalo como positivo o negativo. Es el mismo procedimiento de tabla de signos que se enseña en álgebra, presentado de forma explícita para que usted pueda comprobar la conclusión y no reciba únicamente una unión final. Una raíz repetida aparece una sola vez porque crea un único límite en la recta. Si su multiplicidad es par, los signos de los intervalos vecinos no cambian; si es impar, se invierten. La tabla lo muestra directamente. Las raíces se normalizan como decimales estables: las enteras sencillas siguen siendo reconocibles y las irracionales reciben una aproximación determinista útil.

Interprete la notación de intervalos

Los intervalos solución son exactamente las regiones de la tabla cuyo signo satisface la comparación elegida. Los paréntesis indican que un extremo queda excluido; los corchetes señalan que se incluye una raíz finita porque el operador admite la igualdad. El infinito siempre lleva paréntesis, ya que representa una dirección y no un extremo alcanzable. Si funcionan varias regiones separadas, el solucionador las enlaza mediante el símbolo de unión. El símbolo del conjunto vacío indica que ningún número real cumple la comparación. Consulte el arreglo `solution_intervals` al procesar el resultado mediante código: ofrece cada componente por separado, mientras que `solution_set` proporciona la notación habitual y legible. El método es determinista y solo evalúa los coeficientes proporcionados, por lo que resulta adecuado para ejercicios resueltos, claves automáticas de respuestas y validaciones dentro de procesos algebraicos más amplios. Como en todo cálculo cúbico numérico, las raíces irracionales son aproximadas; interprete la tabla de signos en lugar de tomar una raíz redondeada como una expresión radical simbólica exacta.