Division d’entiers gaussiens : quotient et reste

Saisissez les quatre coefficients du dividende et d’un diviseur non nul : le calculateur renvoie un quotient gaussien et le reste exact. Il fournit aussi les deux normes afin que vous puissiez vérifier la condition euclidienne. Le calcul repose sur une arithmétique entière exacte, sans approximation flottante, et applique une règle stable lorsqu’une coordonnée se trouve exactement entre deux entiers.

Représentez le dividende et le diviseur par des coefficients entiers

Un entier gaussien s’écrit a + bi, où a et b sont des entiers ordinaires et où le carré de i vaut moins un. Indiquez a dans dividend_real et b dans dividend_imag. Décrivez c + di avec divisor_real et divisor_imag. Les valeurs négatives sont admises et chaque coefficient peut être nul, mais ceux du diviseur ne peuvent pas être nuls simultanément. Par exemple, 17 et 9 représentent 17 + 9i, tandis que 4 et -3 représentent 4 - 3i. Des champs séparés évitent toute ambiguïté de signe, d’espace ou de terme omis et facilitent l’emploi par les logiciels qui conservent les nombres complexes sous forme de coordonnées. Chaque coefficient doit respecter la plage publiée. La réponse est tout aussi explicite : quotient.real et quotient.imag donnent le quotient, remainder.real et remainder.imag le reste. Vous pouvez ainsi reconstruire le dividende sans analyser une formule mise en forme.

Comprenez le choix du quotient euclidien

Le calcul considère d’abord le rapport complexe exact du dividende au diviseur. La multiplication par le conjugué du diviseur exprime chaque coordonnée comme une fraction dont le dénominateur positif est la norme c au carré plus d au carré. Chaque coordonnée rationnelle est ensuite arrondie à l’entier le plus proche. L’implémentation compare directement des numérateurs et dénominateurs entiers : aucune erreur binaire ne peut donc déplacer une valeur proche de la moitié. En cas de moitié exacte, l’arrondi s’éloigne de zéro. Cette convention est déterministe ; une autre division euclidienne valide peut choisir un quotient différent sur une frontière tout en respectant l’identité et l’inégalité des normes. Le reste est enfin obtenu par soustraction exacte du produit diviseur-quotient au dividende. divisor_norm et remainder_norm permettent de confirmer que la norme du reste est strictement inférieure à celle du diviseur.

Vérifiez les résultats et exploitez-les en théorie des nombres

Pour contrôler une réponse, multipliez le quotient rendu par le diviseur initial, puis ajoutez le reste. La coordonnée réelle vaut divisor_real multiplié par quotient.real, moins divisor_imag multiplié par quotient.imag, plus remainder.real. La coordonnée imaginaire vaut divisor_real multiplié par quotient.imag, plus divisor_imag multiplié par quotient.real, plus remainder.imag. Elles doivent reproduire exactement le dividende. Comparez aussi remainder_norm à divisor_norm : la première est inférieure pour tout diviseur valide. L’opération convient donc aux étapes successives d’un algorithme de plus grand commun diviseur gaussien, aux exercices sur les domaines euclidiens et aux systèmes symboliques exigeant un choix stable aux frontières. Ni réseau, ni hasard, ni horloge n’intervient ; une entrée identique produit le même JSON. Le diviseur nul est refusé. Un appel API coûte $0.002, tandis qu’un navigateur compatible exécute localement le même cœur déterministe.