División de enteros gaussianos: cociente y resto

Introduzca los cuatro coeficientes del dividendo y de un divisor no nulo; la calculadora devolverá un cociente gaussiano y el resto exacto. También mostrará ambas normas para que usted pueda verificar la condición euclídea. El cálculo emplea aritmética entera exacta, no aproximaciones de coma flotante, y aplica una regla estable cuando una coordenada queda justo entre dos enteros.

Represente dividendo y divisor mediante coeficientes enteros

Un entero gaussiano tiene la forma a + bi, donde a y b son enteros ordinarios e i al cuadrado vale menos uno. Indique a en dividend_real y b en dividend_imag. Describa c + di mediante divisor_real y divisor_imag. Se admiten coeficientes negativos y cualquiera puede valer cero, pero los dos coeficientes del divisor no pueden ser cero a la vez. Por ejemplo, 17 y 9 representan 17 + 9i, mientras que 4 y -3 representan 4 - 3i. Los campos separados evitan ambigüedades de signos, espacios o términos omitidos, y resultan cómodos para programas que guardan números complejos como pares de coordenadas. Cada valor debe ser un entero dentro del intervalo publicado. La salida usa la misma forma explícita: quotient.real y quotient.imag dan el cociente, y remainder.real y remainder.imag, el resto. Así puede reconstruir el dividendo sin interpretar una cadena matemática.

Comprenda cómo se elige el cociente euclídeo

Primero se considera la razón compleja exacta entre dividendo y divisor. Al multiplicar por el conjugado del divisor, cada coordenada se expresa como una fracción cuyo denominador positivo es la norma c al cuadrado más d al cuadrado. Después se redondea cada coordenada racional al entero más cercano. La implementación compara numeradores y denominadores enteros directamente, de modo que ningún error binario desplaza un valor próximo a la mitad. Si una coordenada queda exactamente a mitad de camino, se redondea alejándose de cero. Esta convención es determinista; otra división euclídea válida podría elegir un cociente distinto en el borde, pero conservaría la identidad y la desigualdad de normas. Finalmente, el resto se obtiene mediante la resta exacta dividendo menos divisor por cociente. divisor_norm y remainder_norm permiten confirmar que la norma del resto es estrictamente menor que la del divisor.

Verifique resultados y aplíquelos en teoría de números

Para comprobar una respuesta, multiplique el cociente devuelto por el divisor original y sume el resto. La coordenada real es divisor_real por quotient.real menos divisor_imag por quotient.imag, más remainder.real. La imaginaria es divisor_real por quotient.imag más divisor_imag por quotient.real, más remainder.imag. Ambas deben reproducir exactamente el dividendo. Compare además remainder_norm con divisor_norm: la primera siempre será menor para un divisor válido. Estas propiedades permiten usar la operación como paso repetido del algoritmo de máximo común divisor gaussiano, en ejercicios sobre dominios euclídeos o en sistemas simbólicos que necesiten una decisión estable en los bordes. No intervienen red, azar ni reloj, por lo que una entrada idéntica produce el mismo JSON. Un divisor cero se rechaza. Las llamadas API cuestan $0.002; en un navegador compatible se ejecuta el mismo núcleo determinista.