Divisão de inteiros gaussianos: quociente e resto

Informe os quatro coeficientes do dividendo e de um divisor não nulo; a calculadora retorna um quociente gaussiano e o resto exato. Ela também apresenta as duas normas para que você confirme a condição euclidiana. O cálculo usa aritmética inteira exata, sem aproximações de ponto flutuante, e segue uma regra estável quando uma coordenada fica exatamente entre dois inteiros.

Represente dividendo e divisor por coeficientes inteiros

Um inteiro gaussiano tem a forma a + bi, em que a e b são inteiros comuns e i ao quadrado é menos um. Informe a em dividend_real e b em dividend_imag. Descreva c + di com divisor_real e divisor_imag. Coeficientes negativos são aceitos e qualquer coeficiente pode ser zero, porém os dois coeficientes do divisor não podem ser zero simultaneamente. Por exemplo, 17 e 9 representam 17 + 9i, enquanto 4 e -3 representam 4 - 3i. Campos separados eliminam ambiguidades de sinais, espaços ou termos omitidos e facilitam a integração com programas que armazenam números complexos como pares de coordenadas. Cada coeficiente deve ser inteiro e respeitar o intervalo publicado. A resposta segue a mesma forma explícita: quotient.real e quotient.imag identificam o quociente, enquanto remainder.real e remainder.imag identificam o resto. Assim, você pode reconstruir o dividendo sem interpretar uma expressão matemática formatada.

Entenda como o quociente euclidiano é escolhido

O cálculo considera primeiro a razão complexa exata entre dividendo e divisor. A multiplicação pelo conjugado do divisor expressa cada coordenada como uma fração cujo denominador positivo é a norma c ao quadrado mais d ao quadrado. Cada coordenada racional é arredondada para o inteiro mais próximo. A implementação compara diretamente numeradores e denominadores inteiros, impedindo que erros binários atravessem o limite da metade. Quando uma coordenada está exatamente no meio, o arredondamento se afasta de zero. Essa convenção é determinística; outra convenção euclidiana válida pode escolher um quociente diferente no limite, mas a identidade e a desigualdade das normas continuam válidas. Depois, o resto é calculado por subtração exata: dividendo menos divisor vezes quociente. Os campos divisor_norm e remainder_norm permitem confirmar que a norma do resto é estritamente menor que a norma do divisor.

Confira resultados e use-os em teoria dos números

Para conferir a resposta, multiplique o quociente retornado pelo divisor original e some o resto. A coordenada real é divisor_real vezes quotient.real menos divisor_imag vezes quotient.imag, mais remainder.real. A imaginária é divisor_real vezes quotient.imag mais divisor_imag vezes quotient.real, mais remainder.imag. As duas devem reproduzir exatamente o dividendo. Compare também remainder_norm com divisor_norm; a primeira será menor para todo divisor válido. Essas propriedades tornam a operação adequada ao passo repetido do algoritmo de máximo divisor comum gaussiano, a exercícios sobre domínios euclidianos e a sistemas simbólicos que precisam de uma escolha estável nos limites. Rede, aleatoriedade e relógio não participam do cálculo, portanto entradas iguais geram o mesmo JSON. O divisor zero é rejeitado. Chamadas de API custam US$ 0,002, e um navegador compatível executa localmente o mesmo núcleo determinístico.