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ガウス整数の除算計算

ガウス整数の除算は、実部と虚部の係数がともに整数である数を扱います。被除数とゼロではない除数の4係数を入力すると、ガウス整数の商と厳密な余りを返します。2つのノルムも表示するため、ユークリッド条件をご確認いただけます。浮動小数点の近似ではなく厳密な整数演算を使い、座標が2整数のちょうど中間になる場合にも一定の規則を適用します。

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被除数と除数を整数係数で表します

ガウス整数は a + bi の形を取り、a と b は通常の整数、i の2乗はマイナス1です。a を dividend_real、b を dividend_imag に指定してください。除数 c + di は divisor_real と divisor_imag で表します。負の係数も使用でき、個々の係数はゼロでも構いませんが、除数の2係数を同時にゼロにはできません。たとえば 17 と 9 は 17 + 9i、4 と -3 は 4 - 3i を表します。係数を別々の欄にすることで、符号、空白、省略項による表記の曖昧さを防ぎ、複素数を座標の組として保存するプログラムからも扱いやすくしています。各係数には公開範囲内の整数をご指定ください。出力も同じく明示的で、quotient.real と quotient.imag が商、remainder.real と remainder.imag が余りです。そのため、数式文字列を解析せずに元の被除数を再構成してご確認いただけます。

ユークリッド商の選択方法をご確認ください

まず、被除数を除数で割った厳密な複素比を考えます。除数の共役を掛けると、各座標は正の分母を持つ有理数になります。この分母は c の2乗と d の2乗の和、つまり除数のノルムです。次に各有理座標を最も近い整数へ丸め、ガウス整数の商を作ります。実装では整数の分子と分母を直接比較するため、2進浮動小数点の誤差で半分の境界を越えることはありません。座標が厳密に中間なら、ゼロから離れる方向へ丸めます。この決定的な規則とは別の有効な規則が境界上で異なる商を選ぶ場合もありますが、等式とノルム不等式は保たれます。最後に、被除数から除数と商の積を厳密に引いて余りを求めます。divisor_norm と remainder_norm により、余りのノルムが除数より真に小さいことをご確認いただけます。

結果を検算し、数論の処理に活用します

結果を検算するには、返された商に元の除数を掛け、余りを加えてください。実座標は divisor_real と quotient.real の積から divisor_imag と quotient.imag の積を引き、remainder.real を加えた値です。虚座標は divisor_real と quotient.imag の積に divisor_imag と quotient.real の積、および remainder.imag を加えた値です。両方が元の被除数と厳密に一致します。また、remainder_norm は有効な除数の divisor_norm より小さくなります。この性質により、ガウス整数の最大公約数を求める反復処理、ユークリッド整域の演習、境界でも安定した選択が必要な記号計算に利用できます。ネットワーク、乱数、時刻には依存せず、同じ入力から常に同じ JSON が得られます。ゼロ除数はエラーになります。APIは1回 $0.002 で、対応ブラウザーでは同じ決定的な中核を直接実行できます。

活用例

ガウス整数のユークリッド互除法

各余りを次の除数にして、ガウス整数の最大公約数を計算できます。

抽象代数の演習を検算

提示された商と余りを、厳密な等式と出力されたノルムで確認できます。

決定的な記号計算ツール

再現可能な結果が必要なプログラムで、半分の場合の明示的な規則を適用できます。

よくある質問

ガウス整数とは何ですか？

実係数 a と虚係数 b がともに整数である複素数 a + bi です。

除数をゼロにできますか？

できません。除数の2係数がともにゼロなら、無効な入力としてエラーを返します。

同点で別の計算機と商が異なるのはなぜですか？

整数間の厳密な中間には複数の有効な近傍があります。本計算では常にゼロから離れる方向へ丸めます。

余りがユークリッド条件を満たすか確認できますか？

remainder_norm と divisor_norm を比較してください。有効な入力では前者が必ず小さくなります。

浮動小数点の複素演算を使いますか？

いいえ。積、有理数の丸め判定、減算はすべて厳密な整数演算です。

API計算の料金はいくらですか？

APIリクエスト1回につき $0.002 です。ブラウザーでは同じ中核をローカル実行できます。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-divide

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-divide \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"dividend_real":17,"dividend_imag":9,"divisor_real":4,"divisor_imag":-3}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-divide", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "dividend_real": 17,
    "dividend_imag": 9,
    "divisor_real": 4,
    "divisor_imag": -3
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-divide",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "dividend_real": 17,
    "dividend_imag": 9,
    "divisor_real": 4,
    "divisor_imag": -3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-divide", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"dividend_real":17,"dividend_imag":9,"divisor_real":4,"divisor_imag":-3}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"dividend_real":17,"dividend_imag":9,"divisor_real":4,"divisor_imag":-3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/gaussian-integer-divide", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "dividend_real": 17,
  "dividend_imag": 9,
  "divisor_real": 4,
  "divisor_imag": -3
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.gaussian_integer_divide",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

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