Divisione di interi gaussiani: quoziente e resto

Inserisca i quattro coefficienti del dividendo e di un divisore non nullo: il calcolatore restituisce un quoziente gaussiano e il resto esatto. Mostra inoltre entrambe le norme, così Lei può verificare la condizione euclidea. Il calcolo usa aritmetica intera esatta invece di approssimazioni in virgola mobile e applica una regola stabile quando una coordinata cade esattamente fra due interi.

Rappresenti dividendo e divisore con coefficienti interi

Un intero gaussiano ha forma a + bi, dove a e b sono interi ordinari e il quadrato di i vale meno uno. Inserisca a in dividend_real e b in dividend_imag. Descriva c + di mediante divisor_real e divisor_imag. Sono ammessi coefficienti negativi e ogni coefficiente può essere zero, ma quelli del divisore non possono esserlo contemporaneamente. Per esempio, 17 e 9 rappresentano 17 + 9i, mentre 4 e -3 rappresentano 4 - 3i. I campi separati eliminano le ambiguità dovute a segni, spazi o termini omessi e agevolano i programmi che memorizzano numeri complessi come coppie di coordinate. Ogni coefficiente deve essere un intero nell’intervallo pubblicato. Anche l’uscita è esplicita: quotient.real e quotient.imag identificano il quoziente, mentre remainder.real e remainder.imag identificano il resto. Lei può quindi ricostruire il dividendo senza analizzare una stringa matematica formattata.

Comprenda come viene scelto il quoziente euclideo

Il calcolo considera anzitutto il rapporto complesso esatto tra dividendo e divisore. Moltiplicando per il coniugato del divisore, ogni coordinata diventa una frazione con denominatore positivo uguale alla norma c al quadrato più d al quadrato. Ogni coordinata razionale viene arrotondata all’intero più vicino. L’implementazione confronta direttamente numeratori e denominatori interi, quindi un errore binario non può spostare un valore vicino alla metà. Se la coordinata è esattamente a metà, l’arrotondamento procede lontano da zero. La convenzione è deterministica; un’altra divisione euclidea valida potrebbe scegliere un quoziente diverso sul confine, conservando comunque identità e disuguaglianza delle norme. Infine, il resto deriva dalla sottrazione esatta del prodotto divisore-quoziente dal dividendo. divisor_norm e remainder_norm consentono di confermare che la norma del resto è strettamente minore di quella del divisore.

Verifichi i risultati e li usi nella teoria dei numeri

Per verificare la risposta, moltiplichi il quoziente restituito per il divisore originale e aggiunga il resto. La coordinata reale è divisor_real per quotient.real meno divisor_imag per quotient.imag, più remainder.real. Quella immaginaria è divisor_real per quotient.imag più divisor_imag per quotient.real, più remainder.imag. Entrambe devono riprodurre esattamente il dividendo. Confronti inoltre remainder_norm con divisor_norm: la prima risulta minore per ogni divisore valido. Queste proprietà rendono l’operazione adatta al passaggio ripetuto dell’algoritmo del massimo comune divisore gaussiano, agli esercizi sui domini euclidei e ai sistemi simbolici che richiedono una scelta stabile sui confini. Nel calcolo non intervengono rete, casualità o orologio, quindi input uguali generano lo stesso JSON. Il divisore zero viene rifiutato. Le chiamate API costano $0.002; un browser compatibile esegue localmente lo stesso nucleo deterministico.