Gaußsche Zahlen dividieren: Quotient und Rest

Geben Sie die vier Koeffizienten des Dividenden und eines von null verschiedenen Divisors ein. Der Rechner liefert einen Gaußschen Quotienten und den exakten Rest. Zusätzlich zeigt er beide Normen an, damit Sie die euklidische Bedingung prüfen können. Die Berechnung verwendet exakte Ganzzahlarithmetik statt Gleitkommanäherungen und folgt einer festen Regel, wenn eine Koordinate genau zwischen zwei ganzen Zahlen liegt.

Stellen Sie Dividend und Divisor durch ganze Koeffizienten dar

Eine Gaußsche Zahl hat die Form a + bi, wobei a und b gewöhnliche ganze Zahlen sind und das Quadrat von i gleich minus eins ist. Tragen Sie a als dividend_real und b als dividend_imag ein. Beschreiben Sie c + di mit divisor_real und divisor_imag. Negative Koeffizienten sind zulässig, und jeder einzelne Koeffizient darf null sein; beim Divisor dürfen jedoch nicht beide zugleich null sein. So stehen 17 und 9 für 17 + 9i, während 4 und -3 die Zahl 4 - 3i bezeichnen. Getrennte Felder vermeiden Mehrdeutigkeiten durch Vorzeichen, Leerraum oder ausgelassene Terme und eignen sich für Programme, die komplexe Zahlen als Koordinatenpaare speichern. Jeder Koeffizient muss innerhalb des veröffentlichten Bereichs liegen. Die Ausgabe ist ebenso eindeutig: quotient.real und quotient.imag geben den Quotienten an, remainder.real und remainder.imag den Rest. Dadurch können Sie den ursprünglichen Dividenden ohne Auswertung eines formatierten mathematischen Ausdrucks rekonstruieren.

So wird der euklidische Quotient bestimmt

Zunächst betrachtet die Berechnung das exakte komplexe Verhältnis von Dividend und Divisor. Durch Multiplikation mit dem konjugierten Divisor wird jede Koordinate als Bruch dargestellt. Sein positiver Nenner ist die Divisornorm c zum Quadrat plus d zum Quadrat. Anschließend wird jede rationale Koordinate auf die nächste ganze Zahl gerundet. Die Implementierung vergleicht ganzzahlige Zähler und Nenner direkt, sodass binäre Gleitkommafehler keinen Wert über eine Halbgrenze verschieben können. Liegt eine Koordinate exakt in der Mitte, wird von null weg gerundet. Diese Konvention ist deterministisch. Eine andere gültige euklidische Konvention kann am Rand einen anderen Quotienten wählen, erfüllt aber weiterhin Identität und Normungleichung. Der Rest entsteht danach durch exakte Subtraktion des Produkts aus Divisor und Quotient vom Dividenden. Mit divisor_norm und remainder_norm prüfen Sie, dass die Restnorm echt kleiner als die Divisornorm ist.

Prüfen und verwenden Sie das Ergebnis in der Zahlentheorie

Zur Prüfung multiplizieren Sie den ausgegebenen Quotienten mit dem ursprünglichen Divisor und addieren den Rest. Die reelle Koordinate lautet divisor_real mal quotient.real minus divisor_imag mal quotient.imag plus remainder.real. Die imaginäre Koordinate lautet divisor_real mal quotient.imag plus divisor_imag mal quotient.real plus remainder.imag. Beide müssen den Dividenden exakt ergeben. Vergleichen Sie außerdem remainder_norm mit divisor_norm; bei jedem gültigen Divisor ist der erste Wert kleiner. Damit eignet sich die Operation als wiederholter Schritt im Algorithmus für den größten gemeinsamen Teiler Gaußscher Zahlen, für Aufgaben zu euklidischen Ringen und für symbolische Systeme mit stabiler Randentscheidung. Netzwerk, Zufall und Uhrzeit spielen keine Rolle, daher erzeugt dieselbe Eingabe stets dasselbe JSON. Ein Nulldivisor wird abgewiesen. API-Aufrufe kosten $0.002; ein unterstützter Browser führt denselben deterministischen Kern lokal aus.