Calculateur de fonction réciproque

Saisissez une fonction affine, une puissance entière translatée ou une fonction inverse translatée. Le calculateur réécrit la règle avec y, échange x et y, isole le nouveau y et détermine l'image initiale qui devient le domaine de la réciproque. Les puissances paires exigent une restriction de branche, faute de quoi elles ne sont pas injectives et n'ont pas de fonction réciproque.

Ce qu'une fonction réciproque inverse réellement

Une fonction réciproque inverse la relation entre les entrées et les sorties de la fonction initiale. Si f envoie 4 sur 11, sa réciproque doit renvoyer 11 sur 4. Cette opération ne consiste pas à prendre un inverse multiplicatif : f^(-1)(x) ne signifie pas 1/f(x). La méthode algébrique classique commence par écrire y=f(x), puis échange x et y avant d'isoler y dans l'équation obtenue. Cet échange traduit le fait géométrique qu'une fonction et sa réciproque sont symétriques par rapport à la droite y=x. Ce calculateur effectue ces opérations pour les règles affines, les puissances entières translatées et les règles inverses translatées à constantes numériques. Les étapes rendent la transformation visible, tandis que les écritures normalisées sont faciles à copier. Vous pouvez contrôler la réponse en composant les deux règles : f(f^(-1)(x)) et f^(-1)(f(x)) doivent se simplifier en x partout où les domaines concernés autorisent les deux expressions. Les conditions de domaine sont essentielles lors de ce contrôle ; une identité algébrique hors de l'ensemble permis ne prouve pas l'existence d'une réciproque valable à cet endroit.

Pourquoi une puissance paire exige une branche restreinte

Une fonction ne possède une réciproque que si chaque sortie correspond à une seule entrée. Les fonctions linéaires de pente non nulle satisfont ce critère sur tous les réels, tout comme les transformations de puissance impaire et les fonctions inverses sur leur domaine naturel. Une puissance paire se comporte autrement : deux points à égale distance, de part et d'autre du sommet, donnent la même sortie. Par exemple, le carré de x envoie 3 et -3 sur 9. Le calculateur exige donc un domaine tel que x>=0 ou x<=0 pour une puissance paire, translaté jusqu'au véritable sommet lorsque l'expression vaut a*(x-h)^n+k. Le choix x>=h conserve la branche droite et donne la racine positive ; x<=h conserve la branche gauche et donne la racine négative. Aucune branche n'est toujours préférable. Le bon choix dépend du problème, du graphique ou de l'application d'origine. La restriction appartient à la définition et ne constitue pas une remarque facultative ajoutée après le calcul. Si elle manque ou si sa borne ne coïncide pas avec le sommet, la demande est refusée au lieu de choisir silencieusement une branche.

Lire le domaine réciproque et vérifier le résultat

Le domaine d'une fonction réciproque est l'image de la fonction initiale. Ce calculateur présente séparément le domaine initial, son image et le domaine réciproque afin de rendre ce lien explicite. Pour une fonction linéaire non constante sans restriction, les trois ensembles comprennent tous les réels. Une fonction inverse exclut de son domaine initial la valeur de son asymptote verticale et exclut de son image la valeur de son asymptote horizontale ; cette dernière valeur devient une entrée interdite de la réciproque. Pour une puissance paire translatée, la valeur k du sommet est une borne de l'image. Le sens de cette image dépend du signe du coefficient dominant a : le domaine réciproque est donc x>=k si a est positif et x<=k s'il est négatif. Après avoir obtenu le résultat, essayez plusieurs valeurs autorisées dans les deux sens et vérifiez que la composition restitue la valeur de départ. Contrôlez également les bornes exclues et les asymptotes. Le solveur accepte volontairement une grammaire ciblée plutôt que de prétendre interpréter toute notation ; utilisez des constantes numériques explicites et l'une des formes documentées pour un résultat prévisible.