Méthode de Steffensen pour trouver une racine

Saisissez f(x), choisissez le point de départ et les critères d'arrêt, puis obtenez l'estimation finale et la trace complète des itérations. La méthode applique une correction de type Aitken construite avec f(x) et f(x + f(x)) ; près d'une racine simple appropriée, elle peut atteindre une convergence quadratique en n'utilisant que des valeurs de fonction. Le résultat structuré convient à l'étude, à la vérification et aux traitements numériques reproductibles.

Saisissez la fonction et une valeur initiale pertinente

Écrivez la fonction comme une expression en x, par exemple x^2 - 2, cos(x) - x ou exp(-x) - x. La multiplication doit être explicite : utilisez 2*x et non 2x. L'analyseur accepte les nombres décimaux et scientifiques, les parenthèses, +, -, *, /, les puissances avec ^, les constantes pi et e, ainsi que sin, cos, tan, exp, log, log10, sqrt et abs. Il n'exécute pas JavaScript et refuse une affectation comme f(x)=. initial_guess doit être un nombre fini assez proche de la racine recherchée. Steffensen est une méthode ouverte : contrairement à la bissection, aucun intervalle ne garantit qu'une racine est encadrée. Des départs différents peuvent mener à des zéros distincts, à une singularité ou hors du domaine utile. Un graphique, une étude de signe ou une estimation mathématique aide à choisir. tolerance règle le résidu et le déplacement relatif admis ; max_iterations borne strictement le calcul. Choisissez une tolérance cohérente avec la précision réelle de vos données.

Comprenez la correction de Steffensen inspirée d'Aitken

À l'estimation courante x, le calculateur évalue f(x), puis la fonction au point décalé x + f(x). La différence f(x + f(x)) - f(x) constitue le dénominateur ; l'estimation suivante vaut x moins le carré de f(x) divisé par ce dénominateur. Cette construction s'interprète comme une accélération d'Aitken d'une itération de point fixe et reproduit l'effet d'un pas de Newton sans calculer f'(x). Pour une fonction assez régulière, une racine simple et un départ adapté, la convergence locale est généralement quadratique : les chiffres exacts peuvent rapidement se multiplier. Ce résultat local n'est pas une garantie globale. Un dénominateur nul rend la correction indéfinie, tandis qu'une valeur minuscule peut provoquer un saut considérable. L'outil refuse tout dénominateur exactement nul et toute valeur non finie. Chaque ligne de trace présente x, f(x), le point décalé, sa valeur, le dénominateur, l'estimation suivante et son résidu. Vous pouvez ainsi refaire la formule, observer l'accélération et repérer précisément une difficulté.

Interprétez la convergence et contrôlez la réponse

converged devient true lorsque le nouveau résidu ne dépasse pas tolerance ou lorsque le déplacement est faible à l'échelle de la nouvelle estimation. root et f_root donnent la dernière estimation et son résidu ; iterations compte les corrections achevées. Si la valeur initiale satisfait déjà le test, zéro itération et une trace vide sont renvoyés. Si la limite est atteinte, converged vaut false et le dernier résultat fini ainsi que toute la trace restent disponibles : l'épuisement n'est jamais présenté comme un succès. Examinez toujours f_root, car une faible variation peut provenir d'une stagnation numérique malgré un résidu insuffisant. Pour un calcul important, remplacez x par la racine dans la formule, recommencez depuis un point voisin et comparez à une méthode d'encadrement. Les racines multiples peuvent ralentir la convergence ; discontinuités, domaines restreints, zones plates ou mauvais étalonnage peuvent la faire échouer. La virgule flottante limite aussi la précision utile. Ce calculateur numérique ne prouve ni existence, ni unicité, ni borne d'erreur ; ces affirmations exigent une analyse séparée de la continuité, des dérivées, des intervalles et du conditionnement.