Umkehrfunktion-Rechner

Geben Sie eine affine Funktion, eine verschobene ganzzahlige Potenz oder eine verschobene Kehrwertfunktion ein. Der Rechner schreibt die Regel mit y, vertauscht x und y, löst nach dem neuen y auf und ermittelt den ursprünglichen Wertebereich, der zum Definitionsbereich der Umkehrfunktion wird. Gerade Potenzen benötigen eine Zweigbeschränkung, da sie andernfalls nicht injektiv sind und keine Umkehrfunktion besitzen.

Was eine Umkehrfunktion tatsächlich umkehrt

Eine Umkehrfunktion kehrt die Beziehung zwischen Eingaben und Ausgaben der ursprünglichen Funktion um. Wenn f die Zahl 4 auf 11 abbildet, muss die Umkehrfunktion 11 wieder auf 4 abbilden. Das ist mehr als die Bildung eines Kehrwerts: f^(-1)(x) bedeutet nicht 1/f(x). Das übliche algebraische Verfahren beginnt mit y=f(x), vertauscht anschließend x und y und löst die entstandene Gleichung nach y auf. Dieser Tausch spiegelt die geometrische Tatsache wider, dass Funktion und Umkehrfunktion an der Geraden y=x gespiegelt sind. Der Rechner führt diese Schritte für affine Regeln, verschobene ganzzahlige Potenzen und verschobene Kehrwertregeln mit numerischen Konstanten aus. Die ausgegebenen Schritte zeigen die Umformung; die normalisierten Schreibweisen lassen sich leicht übernehmen. Sie können das Ergebnis durch Verkettung prüfen: f(f^(-1)(x)) und f^(-1)(f(x)) müssen sich überall dort zu x vereinfachen, wo die jeweiligen Definitionsbereiche beide Ausdrücke zulassen. Bereichsbedingungen sind bei dieser Prüfung wesentlich; eine scheinbare algebraische Identität außerhalb der zulässigen Menge beweist dort keine gültige Umkehrfunktion.

Warum gerade Potenzen einen beschränkten Zweig brauchen

Eine Funktion besitzt nur dann eine Umkehrfunktion, wenn jeder Ausgabewert genau einen Eingabewert kennzeichnet. Lineare Funktionen mit einer Steigung ungleich null erfüllen diese Bedingung auf allen reellen Zahlen. Das gilt auch für ungerade Potenztransformationen und für Kehrwerttransformationen auf ihren natürlichen Definitionsbereichen. Eine gerade Potenz verhält sich anders: Punkte mit gleichem Abstand links und rechts vom Scheitel liefern denselben Wert. Beispielsweise bildet das Quadrat von x sowohl 3 als auch -3 auf 9 ab. Daher verlangt der Rechner für eine gerade Potenz einen Bereich wie x>=0 oder x<=0, bei einem Ausdruck a*(x-h)^n+k bis zum tatsächlichen Scheitel verschoben. x>=h behält den rechten Zweig und liefert die positive Wurzel; x<=h behält den linken Zweig und liefert die negative Wurzel. Keiner der Zweige ist grundsätzlich vorzuziehen. Die richtige Auswahl ergibt sich aus Aufgabe, Graph oder Anwendung. Die Beschränkung gehört zur Definition und ist keine nachträgliche optionale Anmerkung. Fehlt sie oder stimmt ihre Grenze nicht mit dem Scheitel überein, wird die Anfrage abgelehnt, statt unbemerkt einen Zweig auszuwählen.

Den Definitionsbereich der Umkehrfunktion richtig lesen

Der Definitionsbereich einer Umkehrfunktion entspricht dem Wertebereich der ursprünglichen Funktion. Dieser Rechner gibt den ursprünglichen Definitionsbereich, dessen Wertebereich und den Definitionsbereich der Umkehrfunktion getrennt aus, damit der Zusammenhang erkennbar bleibt. Bei einer unbeschränkten, nicht konstanten linearen Funktion umfassen alle drei Mengen sämtliche reellen Zahlen. Eine Kehrwertfunktion schließt den Wert ihrer senkrechten Asymptote aus dem ursprünglichen Definitionsbereich und den Wert ihrer waagerechten Asymptote aus dem Wertebereich aus; der letztgenannte ausgeschlossene Wert wird zu einer verbotenen Eingabe der Umkehrfunktion. Bei einer verschobenen geraden Potenz bildet der Scheitelwert k eine Grenze des Wertebereichs. Ob sich dieser nach oben oder unten erstreckt, hängt vom Vorzeichen des Leitkoeffizienten a ab. Deshalb lautet der inverse Definitionsbereich x>=k bei positivem a und x<=k bei negativem a. Prüfen Sie anschließend einige zulässige Werte in beiden Richtungen und bestätigen Sie, dass die Verkettung den Ausgangswert liefert. Kontrollieren Sie auch ausgeschlossene Grenzen und Asymptoten ausdrücklich. Der Rechner akzeptiert bewusst eine begrenzte Grammatik; verwenden Sie explizite numerische Konstanten und eine dokumentierte Form für vorhersagbare Ergebnisse.