Calcolatore di funzione inversa

Inserisca una funzione affine, una potenza intera traslata o una funzione reciproca traslata. Il calcolatore riscrive la regola con y, scambia x e y, isola la nuova y e identifica l'immagine originale che diventa il dominio dell'inversa. Le potenze pari richiedono la restrizione a un ramo, perché senza di essa non sono iniettive e non possiedono una funzione inversa.

Che cosa inverte davvero una funzione inversa

Una funzione inversa capovolge la relazione tra gli ingressi e le uscite della funzione originale. Se f porta 4 a 11, la sua inversa deve riportare 11 a 4. È un'operazione diversa dal reciproco: f^(-1)(x) non significa 1/f(x). Il procedimento algebrico standard inizia scrivendo y=f(x), scambiando x con y e isolando y nell'equazione risultante. Questo scambio rappresenta il fatto geometrico che una funzione e la sua inversa sono immagini speculari rispetto alla retta y=x. Il calcolatore esegue tali operazioni per regole affini, potenze intere traslate e regole reciproche traslate con costanti numeriche. I passaggi rendono visibile la trasformazione, mentre la funzione normalizzata e l'inversa consentono di copiare facilmente il risultato. Lei può verificare la risposta componendo le due regole: f(f^(-1)(x)) e f^(-1)(f(x)) devono semplificarsi in x in ogni punto in cui i relativi domini ammettono entrambe le espressioni. Le condizioni sul dominio sono determinanti durante la verifica; un'identità algebrica apparente fuori dall'insieme consentito non dimostra che lì esista una funzione inversa valida.

Perché le potenze pari richiedono un ramo ristretto

Una funzione possiede un'inversa solo quando ogni uscita identifica esattamente un ingresso. Le funzioni lineari con pendenza diversa da zero superano questa prova su tutti i numeri reali, come le trasformazioni a potenza dispari e quelle reciproche nei rispettivi domini naturali. Una potenza pari si comporta diversamente: punti alla stessa distanza a sinistra e a destra del vertice producono la medesima uscita. Per esempio, il quadrato di x porta sia 3 sia -3 a 9. Il calcolatore richiede quindi un dominio come x>=0 o x<=0 per una potenza pari, traslato fino al vertice effettivo quando l'espressione è a*(x-h)^n+k. La scelta x>=h conserva il ramo destro e genera la radice positiva; x<=h conserva il ramo sinistro e genera la radice negativa. Nessun ramo è sempre preferibile. La scelta corretta deriva dal problema, dal grafico o dall'applicazione originale. La restrizione fa parte della definizione e non è una nota facoltativa aggiunta dopo la soluzione. Se manca o il suo limite non coincide con il vertice, la richiesta viene respinta invece di selezionare tacitamente un ramo.

Come leggere il dominio inverso e controllare il risultato

Il dominio di una funzione inversa coincide con l'immagine della funzione originale. Questo calcolatore riporta separatamente il dominio originale, l'immagine originale e il dominio inverso, così il rapporto rimane evidente. Per una funzione lineare non costante e senza restrizioni, tutti e tre gli insiemi comprendono ogni numero reale. Una funzione reciproca esclude dal dominio originale il valore dell'asintoto verticale e dall'immagine quello dell'asintoto orizzontale; quest'ultimo valore escluso diventa un ingresso vietato per l'inversa. In una potenza pari traslata, il valore k del vertice è un estremo dell'immagine. La direzione dell'immagine dipende dal segno del coefficiente principale a, quindi il dominio inverso è x>=k se a è positivo e x<=k se è negativo. Dopo aver ricevuto il risultato, provi alcuni valori consentiti in entrambe le direzioni e confermi che la composizione restituisca il valore iniziale. Controlli esplicitamente anche gli estremi esclusi e gli asintoti. Il risolutore accetta intenzionalmente una grammatica circoscritta, invece di fingere di capire qualsiasi notazione; usi costanti numeriche esplicite e una delle forme documentate per risultati prevedibili.