Calculadora del centro de masa a partir de la densidad

Introduzca los coeficientes y los extremos izquierdo y derecho. La herramienta evalúa analíticamente la integral de la masa total y la integral del primer momento, y después divide el momento entre la masa. También muestra ambas integrales para que usted pueda revisar el procedimiento en cálculo, mecánica, ingeniería o ejercicios automatizados.

Describa la barra mediante una densidad polinómica

Exprese la densidad lineal como un polinomio de la posición x e introduzca los coeficientes desde la potencia mayor hasta el término constante. Por ejemplo, [2, 1] representa rho(x) = 2x + 1, mientras que [3, 0, -2] representa rho(x) = 3x squared - 2. Conserve ceros explícitos cuando falte una potencia para que el grado no sea ambiguo. Los límites inferior y superior sitúan los extremos de la barra en el mismo eje de coordenadas de la fórmula, y el superior debe ser estrictamente mayor. Todos los datos deben ser números finitos y la masa integral resultante debe ser positiva. Si x se mide en metros y la densidad en kilogramos por metro, la masa estará en kilogramos, el primer momento en kilogramo-metros y el centro en metros. La herramienta no convierte unidades; utilice un sistema coherente. Para representar una barra física, compruebe además que la densidad no sea negativa en ningún punto del intervalo.

Cómo se evalúan la masa y el primer momento

Para una barra entre a y b con densidad lineal rho(x), la masa total es la integral definida de rho(x) entre ambos extremos. El primer momento respecto del origen es la integral de x multiplicado por rho(x) sobre el mismo intervalo. La calculadora integra directamente cada término con la regla de la potencia. Si un término es c por x elevado a n, su contribución a la masa se obtiene con c por x elevado a n más uno, dividido entre n más uno, y evaluado en los extremos. Para el primer momento, multiplicar por x aumenta antes el exponente en uno. Finalmente se aplica x-bar = primer momento dividido entre masa total. No se emplean muestreo, iteraciones, análisis de expresiones ni cuadratura numérica, por lo que no existe un tamaño de paso que ajustar. La respuesta incluye total_mass y first_moment para revisar antiderivadas, detectar coeficientes mal colocados y conservar el análisis dimensional. Si una operación excede el rango numérico admitido, se rechaza en vez de producir un infinito inútil.

Interprete el punto de equilibrio y revise el modelo

El valor center_of_mass indica la coordenada donde se equilibraría la barra con la densidad indicada. Con densidad positiva constante coincide con el punto medio, pues longitudes iguales contienen masas iguales. Si la densidad aumenta hacia la derecha, el centro suele desplazarse a la derecha del punto medio geométrico; si la parte izquierda es más pesada, se desplaza hacia allí. Estas observaciones permiten detectar errores rápidamente. En un modelo físico con densidad no negativa y masa positiva, el centro debe quedar entre los extremos. Una posición inesperada suele revelar coeficientes introducidos en orden ascendente, coordenadas incompatibles o un polinomio que toma valores negativos. El servicio exige que la integral de masa sea positiva, pero no demuestra que la densidad sea no negativa en todo el intervalo; usted debe confirmar esa condición física. Use el grado y los límites devueltos para verificar qué se calculó, conserve el resultado sin redondear para operaciones posteriores y redondee solo al presentarlo con la precisión que permitan las mediciones originales.