Multiplicação de inteiros gaussianos

Informe separadamente os quatro coeficientes; a ferramenta aplica a propriedade distributiva e considera que i ao quadrado é -1. O resultado traz a parte real e o coeficiente imaginário, prontos para exercícios de teoria dos números, conferências algébricas, testes de programas e fluxos que exigem aritmética exata.

Represente os dois inteiros gaussianos com quatro componentes

Um inteiro gaussiano tem a forma a + bi, em que a e b são inteiros e i é a unidade imaginária. Antes de multiplicar, identifique os coeficientes. O primeiro valor usa a_real para a e a_imag para b; o segundo usa b_real para c e b_imag para d. Para multiplicar 3 + 2i por 1 - 4i, informe 3, 2, 1 e -4. Preserve o sinal de cada coeficiente: em -4i, ele é -4. Um número puramente real tem coeficiente imaginário zero, e um puramente imaginário tem parte real zero. Por isso, zero é aceito em todos os campos. Os quatro campos são obrigatórios para eliminar ambiguidades na API. Os componentes precisam ser inteiros JSON dentro dos limites publicados. Frações decimais, texto numérico, infinito e valores não inteiros são rejeitados, sem arredondamento ou conversão silenciosa. Esse contrato rigoroso separa a aritmética exata dos cálculos aproximados com números complexos.

Entenda como o produto é calculado

O cálculo expande (a + bi)(c + di) pela propriedade distributiva. A multiplicação dos termos produz ac + adi + bci + bdi ao quadrado. Como i ao quadrado é -1, o último termo vira -bd. Os termos sem i formam a parte real ac - bd, e os coeficientes de i formam a parte imaginária ad + bc. A calculadora devolve esses inteiros como real e imaginary. Para 3 + 2i e 1 - 4i, a parte real é 3 vezes 1 menos 2 vezes -4, enquanto a imaginária é 3 vezes -4 mais 2 vezes 1. Esse formato evita dúvidas com sinais e facilita o processamento posterior. O algoritmo usa apenas multiplicação, adição e subtração de inteiros limitados. O limite dos componentes mantém resultados intermediários e finais no intervalo seguro e exato do JavaScript. A operação é determinística e não depende de rede, modelo, relógio ou aleatoriedade.

Use o resultado em matemática e software

Os inteiros gaussianos formam um anel, portanto seu produto sempre é outro inteiro gaussiano. Esse fechamento é útil no estudo de somas de dois quadrados, primos gaussianos, normas e fatoração em Z[i]. Você pode conferir uma expansão manual comparando os dois coeficientes com a resposta ou encaminhar os valores ao próximo cálculo exato. Uma verificação independente usa a norma multiplicativa N(a + bi) = a ao quadrado + b ao quadrado: a norma do resultado deve ser igual ao produto das normas das entradas. Em testes de software, inclua mudanças de sinal, componentes zero, fatores puramente reais ou imaginários e multiplicação pelas unidades 1, -1, i e -i. O endpoint custa US$ 0,002 por solicitação API, e a versão no navegador pode rodar localmente. Componentes inválidos geram erro de entrada e não são aproximados. Se houver partes fracionárias, os dados representam números complexos gerais e exigem outra operação.