Steffensen-Verfahren zur Nullstellensuche

Geben Sie f(x), den Startwert und die Abbruchkriterien ein; Sie erhalten die letzte Näherung und ein vollständiges Iterationsprotokoll. Das Verfahren verwendet eine Aitken-artige Korrektur aus f(x) und f(x + f(x)). In der Nähe einer geeigneten einfachen Nullstelle kann es allein mit Funktionswerten quadratisch konvergieren. Die strukturierte Ausgabe eignet sich zum Lernen, Prüfen und für reproduzierbare numerische Abläufe.

Geben Sie Funktion und geeigneten Startwert ein

Schreiben Sie die Funktion als Ausdruck in x, etwa x^2 - 2, cos(x) - x oder exp(-x) - x. Multiplikationen müssen ausdrücklich als 2*x statt 2x notiert werden. Der Parser unterstützt Dezimalzahlen, wissenschaftliche Schreibweise, Klammern, +, -, *, /, Potenzen mit ^, die Konstanten pi und e sowie Funktionen wie sin, cos, tan, exp, log, log10, sqrt und abs. JavaScript oder Zuweisungen wie f(x)= werden nicht ausgeführt. initial_guess muss endlich sein und sollte nahe an der gesuchten Nullstelle liegen. Steffensen ist ein offenes Verfahren: Anders als bei der Bisektion gibt es kein Intervall, das eine Nullstelle sicher einschließt. Verschiedene Startwerte können zu anderen Nullstellen, Singularitäten oder außerhalb des sinnvollen Bereichs führen. Ein Graph, eine Vorzeichenprüfung oder mathematische Abschätzung hilft bei der Wahl. tolerance legt zulässiges Residuum und relative Änderung fest; max_iterations begrenzt die Arbeit strikt. Wählen Sie die Toleranz passend zur tatsächlich begründbaren Datengenauigkeit.

Verstehen Sie den Aitken-artigen Steffensen-Schritt

Für die aktuelle Näherung x berechnet der Rechner zuerst f(x) und anschließend den Funktionswert am verschobenen Punkt x + f(x). Die Differenz f(x + f(x)) - f(x) bildet den Nenner; die nächste Näherung ist x minus f(x) zum Quadrat, geteilt durch diesen Nenner. Die Konstruktion lässt sich als Aitken-Beschleunigung einer Fixpunktiteration auffassen und nähert die Wirkung eines Newton-Schritts an, ohne f'(x) zu berechnen. Bei hinreichend glatter Funktion, einfacher Nullstelle und geeignetem Start ist die lokale Konvergenz meist quadratisch, sodass korrekte Stellen schnell zunehmen können. Dies ist keine globale Zusage. Ein Nenner von null macht den Schritt undefiniert, ein sehr kleiner Nenner kann einen großen Sprung verursachen. Der Rechner weist exakt verschwindende Nenner und nicht endliche Werte zurück. Jede Protokollzeile enthält x, f(x), den verschobenen Punkt, dessen Funktionswert, den Nenner, die nächste Näherung und deren Residuum. So können Sie die Formel nachvollziehen und problematische Schritte genau erkennen.

Bewerten Sie die Konvergenz und prüfen Sie das Ergebnis

converged wird true, wenn das neue Residuum höchstens tolerance beträgt oder die Änderung relativ zur neuen Näherung klein ist. root und f_root enthalten letzte Näherung und ausgewertetes Residuum; iterations zählt abgeschlossene Schritte. Erfüllt der Startwert bereits den Residuumtest, werden null Iterationen und ein leeres Protokoll ausgegeben. Beim Erreichen der Obergrenze bleibt converged false; der letzte endliche Wert und das gesamte Protokoll werden zur Diagnose geliefert. Prüfen Sie stets f_root, denn numerische Stagnation kann eine kleine Änderung trotz unzureichendem Residuum erzeugen. Setzen Sie bei wichtigen Aufgaben die Nullstelle unabhängig in die Ausgangsformel ein, wiederholen Sie den Lauf mit einem nahen Startwert und vergleichen Sie möglichst ein einschließendes Verfahren. Mehrfache Nullstellen können die Ordnung senken; Unstetigkeiten, eingeschränkte Definitionsbereiche, flache Zonen oder schlechte Skalierung können das Verfahren scheitern lassen. Gleitkommaarithmetik begrenzt außerdem die sinnvolle Genauigkeit. Der Rechner beweist weder Existenz noch Eindeutigkeit oder eine Fehlerschranke; dafür sind Kontinuität, Ableitungen, Intervalle und Kondition gesondert zu untersuchen.