Tangentengleichung berechnen – Steigung und Achsenabschnitt

Er wertet das Polynom für den Berührpunkt aus, bestimmt durch Ableiten die momentane Steigung und berechnet anschließend den y-Achsenabschnitt. Das Ergebnis enthält sowohl die Steigungsform als auch die Punkt-Steigungs-Form. Damit können Sie Aufgaben kontrollieren, ausgearbeitete Beispiele vorbereiten oder eine verlässliche symbolisch-numerische Berechnung in eine Anwendung einbauen.

Polynom und Stelle eindeutig eingeben

Geben Sie die Funktion als gewöhnliches Polynom in x ein, beispielsweise 3x^2 - 2x + 1, und nennen Sie die x-Koordinate, an der die Tangente gesucht ist. Leerzeichen sind ebenso zulässig wie ein optionales Multiplikationszeichen zwischen einer Zahl und x. Vor einem nicht negativen ganzzahligen Exponenten können Sie ^ oder ** verwenden. Auch ein vorangestelltes y= oder f(x)= wird erkannt. Dezimalkoeffizienten und wissenschaftliche Schreibweise eignen sich sowohl für Schulaufgaben als auch für Messwerte. Der Ausdruck muss ein Polynom bleiben: andere Variablen, Klammern, Division durch x, Wurzeln, trigonometrische Funktionen sowie negative oder gebrochene Exponenten werden abgelehnt und nicht näherungsweise gedeutet. Diese strenge Eingaberegel verhindert, dass ein nicht unterstützter Ausdruck unbemerkt eine glaubhaft wirkende, aber falsche Gerade liefert. Die x-Koordinate muss endlich sein. Nach der Prüfung werden gleichartige Terme automatisch zusammengefasst; x^2 + 2x^2 wird daher vor der Berechnung von Punkt und Steigung als 3x^2 behandelt.

So entstehen Steigung und Achsenabschnitt

Bei einem Polynom f(x) verläuft die Tangente an der Stelle x=a durch den Punkt (a, f(a)) und besitzt die Steigung f'(a). Der Rechner wertet das Polynom und seine erste Ableitung gemeinsam mit einer begrenzten Variante des Horner-Schemas aus. Dadurch muss kein ausmultiplizierter Ableitungsausdruck aufgebaut werden; y-Koordinate und Steigung ergeben sich unmittelbar als Zahlenwerte. Sobald m=f'(a) feststeht, lautet die Punkt-Steigungs-Form y-f(a)=m(x-a). Durch Umstellen entsteht y=mx+b mit b=f(a)-ma. Die ausgegebenen Werte für Steigung und Achsenabschnitt gehören somit unmittelbar zur angezeigten Gleichung und sind keine getrennten Schätzungen. Eine waagerechte Tangente hat die Steigung null und wird schlicht als y=b dargestellt. Die Koeffizienten werden auf eine stabile numerische Genauigkeit bereinigt; dazu gehört auch das Entfernen einer negativen Null. So liefern gleichwertige Rechnungen konsistentes JSON. Überschreiten angeforderte Werte den endlichen Zahlenbereich, wird die Eingabe abgelehnt, anstatt Infinity oder eine beschädigte Gleichung zurückzugeben.

Ergebnis lesen und prüfen

Das Ergebnis nennt x und y für den Berührpunkt, slope für den Ableitungswert, intercept für das konstante Glied der Geraden und equation für die kopierfertige Steigungsform. Zusätzlich wird eine Punkt-Steigungs-Gleichung ausgegeben. Sie hält die beim Herleiten verwendete Einsetzung fest und lässt sich leicht mit einer handschriftlichen Lösung vergleichen. Setzen Sie zur schnellen Kontrolle den ausgegebenen x-Wert in y=mx+b ein; das Resultat muss dem angegebenen y-Wert entsprechen. Sie können außerdem das ursprüngliche Polynom unabhängig ableiten und diese Ableitung bei x auswerten. Das Ergebnis muss mit der Steigung übereinstimmen. Beide Prüfungen bestätigen die kennzeichnenden Eigenschaften einer Tangente an einem regulären Polynompunkt: Die Gerade geht durch den Graphen und hat dort dieselbe momentane Änderungsrate. Im Browser ist die Nutzung kostenlos; automatisierte Aufrufe verwenden den veröffentlichten Grundpreis von $0.002. Da der Algorithmus weder Netzwerk noch Zufall, gespeicherten Zustand oder Uhrzeit benötigt, erzeugt dieselbe gültige Eingabe in jedem unterstützten Kanal dasselbe strukturierte Ergebnis.