Newton-Raphson-Rechner für einen Einzelschritt

Geben Sie eine Funktion f(x), ihre Ableitung f'(x) und den gegenwärtigen Wert x_n ein. Das Werkzeug wertet beide Ausdrücke an dieser Stelle aus, teilt den Funktionswert durch die Ableitung und zieht die erhaltene Korrektur ab, um x_(n+1) zu bilden. Es gibt außerdem jede Zwischenzahl zurück. So können Sie eine Übung prüfen, einen numerischen Ablauf dokumentieren oder eine Iteration untersuchen, bevor Sie über eine Fortsetzung entscheiden.

Geben Sie Funktion, Ableitung und aktuelle Näherung ein

Schreiben Sie die Funktion, deren Nullstelle Sie annähern möchten, und getrennt davon einen Ausdruck für ihre Ableitung. Beide verwenden x als Variable. Zulässig sind Rechenoperatoren, Klammern, Potenzen, die Konstanten pi und e sowie gängige Funktionen wie sin, cos, tan, exp, log, sqrt und abs. Schreiben Sie Multiplikationen ausdrücklich als 2*x und nicht als 2x. Beim klassischen Beispiel f(x) = x^2 - 2 geben Sie x^2 - 2 als Funktion und 2*x als Ableitung ein. Danach legen Sie mit x_current die Näherung fest, an der dieser Schritt beginnt. Eine zweckmäßige Startnäherung liegt meist nahe bei der Nullstelle und in einem Bereich, in dem die Ableitung existiert und nicht null ist. Präfixe wie f(x) = und f'(x) = werden angenommen; reine Ausdrücke sind in Skripten jedoch übersichtlicher. Werte gelten als dimensionslose Zahlen. Verwenden Sie bei physikalischen Größen deshalb durchgehend konsistente Einheiten. Der Parser akzeptiert ausschließlich mathematische Syntax und führt keinen Programmcode aus. Die Ausdruckslänge ist begrenzt, und sämtliche Eingaben und Ergebnisse müssen endlich sein. Dadurch bleiben gespeicherte Berechnungen reproduzierbar, und eine undefinierte Operation kann nicht als scheinbarer Erfolg verborgen werden.

Verfolgen Sie den einzelnen Newton-Raphson-Schritt

Newton-Raphson nutzt die Tangente an der aktuellen Näherung, um ihren Schnittpunkt mit der x-Achse vorherzusagen. Zunächst wertet der Rechner f(x_current) und f'(x_current) aus. Dann bildet er die Korrektur f(x_current) / f'(x_current) und wendet x_next = x_current - correction an. Die Ausgabe zeigt aktuelle Näherung, Funktionswert, Ableitungswert, Korrektur und nächste Näherung, sodass Sie jede Rechenoperation kontrollieren können. Für x^2 - 2 bei x_current = 1.5 beträgt der Funktionswert 0.25 und die Ableitung 3. Der Quotient ist ungefähr 0.0833333333; nach dem Abziehen ergibt sich etwa 1.4166666667. Es findet nur eine Aktualisierung statt: x_next wird nicht automatisch erneut eingesetzt. Diese bewusste Grenze eignet sich für Unterricht, Arbeitsblätter und Abläufe, in denen ein anderes System über das Ende entscheidet. Die Genauigkeitsoption verändert lediglich die im JSON dargestellten Nachkommastellen. Auswertung und Subtraktion verwenden zuvor die Gleitkommagenauigkeit. Ist die Ableitung null oder ein Ausdruck an der aktuellen Stelle undefiniert, endet die Anfrage mit einem Eingabefehler statt mit einem unendlichen oder irreführenden Ergebnis.

Deuten Sie die nächste Näherung und bestimmen Sie das weitere Vorgehen

Die nächste Näherung ist ein numerischer Vorschlag und kein Beweis dafür, dass eine Nullstelle existiert oder Konvergenz eintritt. Newton-Raphson konvergiert häufig schnell, wenn der Start nahe genug an einer einfachen Nullstelle liegt und die Funktion dort glatt ist. Ein einzelner Schritt kann diese Voraussetzungen jedoch nicht bestätigen. Prüfen Sie die Größe des Funktionswerts und der Korrektur. Eine kleine Korrektur kann auf Stabilisierung hindeuten, aber auch durch eine sehr große Ableitung entstehen; werten Sie daher später f(x_next) aus, bevor Sie das Ergebnis akzeptieren. Eine große Korrektur zeigt, dass die Tangente die Achse weit vom aktuellen Punkt entfernt schneidet. Wiederholte Schritte können divergieren, schwingen, den Definitionsbereich verlassen oder zu einer anderen Nullstelle gelangen. Mehrfache Nullstellen verlangsamen zudem die übliche Konvergenz. Legen Sie für zuverlässige Arbeit Grenzwerte für Korrektur und Residuum sowie eine maximale Iterationszahl fest und vergleichen Sie, falls ein Intervall bekannt ist, mit einem Einschlussverfahren. Dieser Rechner nähert die Ableitung nicht numerisch an: Der ausdrückliche, prüfbare Ableitungsausdruck wird am selben x_current ausgewertet. Damit können Sie symbolisches Ableiten kontrollieren, das Tangentenprinzip erklären oder einen deterministischen Schritt in einen größeren Löser einbauen. Die API kostet $0.002 je Anfrage; die Browserversion führt dieselbe reine Berechnung lokal aus.