Fonction de répartition géométrique

Indiquez la probabilité de succès d'un essai indépendant, p, puis une limite entière positive, k. Le calculateur renvoie la probabilité d'obtenir au moins un succès entre le premier essai et l'essai k. Il évalue la formule exacte au lieu de simuler des essais ; une entrée identique donne donc toujours le même résultat. Les probabilités non valides et les nombres d'essais inférieurs à un sont clairement refusés.

Ce que mesure la fonction de répartition géométrique

La loi géométrique modélise des essais indépendants répétés lorsque chacun possède la même probabilité de succès et que le processus est observé jusqu'au premier succès. Ce calculateur adopte la convention du nombre d'essais jusqu'au premier succès : la variable aléatoire X commence donc à un. Sa fonction de répartition en k correspond à la probabilité que X soit inférieur ou égal à k. Autrement dit, elle mesure la chance qu'un succès survienne pendant les k premières tentatives. Le complément est souvent plus simple à visualiser : ne pas atteindre l'objectif en k essais signifie échouer à chacun d'eux. Si un essai réussit avec la probabilité p, il échoue avec la probabilité un moins p. L'indépendance implique que la probabilité de k échecs consécutifs vaut un moins p à la puissance k. Soustraire cette valeur de un fournit la probabilité cumulée recherchée. Le résultat contient cette fonction de répartition et la probabilité complémentaire que tous les essais échouent ; leur somme vaut un, hors arrondi flottant ordinaire. Cette mesure diffère de la probabilité que le premier succès arrive exactement à l'essai k, laquelle est une masse de probabilité et non une probabilité cumulée.

Comment saisir p et k et lire le résultat

Saisissez p sous forme d'un nombre strictement supérieur à zéro et inférieur ou égal à un. Les probabilités décimales utilisent l'échelle directe : entrez 0.25 pour une chance de succès de vingt-cinq pour cent, et non 25. La probabilité un est valide et signifie que le premier essai réussit toujours ; zéro est refusé, car le temps d'attente géométrique n'est pas défini lorsque le succès est impossible. Saisissez k comme un nombre entier d'essais à partir de un. Les fractions, zéro et les nombres négatifs sont refusés puisque la loi est indexée par des tentatives discrètes. Les champs cdf et probability indiquent tous deux la probabilité de succès avant la limite donnée. failure_probability donne la chance complémentaire que les k essais échouent. percent convient à l'affichage, tandis que les champs numériques sont préférables pour des calculs ultérieurs. Par exemple, lorsque p vaut 0.25 et k vaut 4, le résultat mesure la chance d'obtenir au moins un succès parmi quatre occasions indépendantes. Il ne suppose pas que vous interrompiez puis réinitialisiez la probabilité de succès et ne compte pas le nombre total espéré de succès.

Hypothèses, comportement numérique et usage pratique

Utilisez ce modèle uniquement si les essais sont raisonnablement indépendants et si la probabilité de succès reste constante. Si une tentative modifie la suivante, si des éléments sont retirés sans remise ou si p évolue dans le temps, la fonction géométrique simple risque de mal représenter le processus. Pour un nombre fixe d'essais et des questions portant sur plusieurs succès, une loi binomiale est généralement plus adaptée. Cette implémentation calcule le complément au moyen de fonctions logarithmiques et exponentielles choisies pour leur stabilité numérique, particulièrement lorsque p est très petit. Elle évite ainsi une grande partie de la perte de précision liée à la soustraction directe d'une puissance extrêmement proche de un. Le calcul emploie néanmoins une arithmétique standard à précision finie : les valeurs exceptionnellement proches de zéro ou un peuvent être affichées comme le nombre représentable le plus proche. Le résultat est déterministe, sans appel réseau ni simulation aléatoire. Vous pouvez l'utiliser pour fixer un budget de nouvelles tentatives, estimer une conversion après plusieurs approches indépendantes, planifier des inspections ou expliquer des exercices. Comparez plusieurs valeurs de k pour mesurer l'apport d'occasions supplémentaires, mais vérifiez les hypothèses avant toute décision importante.