Geometrische Verteilungsfunktion

Geben Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit eines unabhängigen Versuchs, p, und eine positive ganzzahlige Grenze, k, ein. Der Rechner liefert die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Erfolg vom ersten bis zum k-ten Versuch. Er wertet die exakte Formel aus, anstatt Versuche zu simulieren. Daher erzeugt dieselbe Eingabe immer dasselbe Ergebnis. Ungültige Wahrscheinlichkeiten und Versuchszahlen unter eins werden eindeutig zurückgewiesen.

Was die geometrische Verteilungsfunktion misst

Die geometrische Verteilung beschreibt wiederholte unabhängige Versuche, wenn jeder Versuch dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit besitzt und der Ablauf bis zum ersten Erfolg beobachtet wird. Dieser Rechner verwendet die Konvention der Anzahl der Versuche bis zum ersten Erfolg; deshalb beginnt die Zufallsvariable X bei eins. Ihre Verteilungsfunktion an der Stelle k ist die Wahrscheinlichkeit, dass X kleiner oder gleich k ist. Alltagssprachlich ist dies die Chance auf einen Erfolg innerhalb der ersten k Versuche. Das Gegenereignis lässt sich oft leichter verstehen: Wird das Ziel in k Versuchen nicht erreicht, schlagen sämtliche Versuche fehl. Erfolgt ein einzelner Versuch mit Wahrscheinlichkeit p, so scheitert er mit Wahrscheinlichkeit eins minus p. Durch die Unabhängigkeit entspricht die Wahrscheinlichkeit von k aufeinanderfolgenden Fehlschlägen eins minus p hoch k. Wird dieser Wert von eins abgezogen, ergibt sich die gesuchte kumulierte Wahrscheinlichkeit. Die Ausgabe enthält sowohl diese Verteilungsfunktion als auch die verbleibende Wahrscheinlichkeit, dass alle Versuche scheitern; abgesehen von üblicher Gleitkommarundung ergeben beide zusammen eins. Diese Bedeutung unterscheidet sich von der Wahrscheinlichkeit, dass der erste Erfolg genau im Versuch k eintritt. Letztere ist eine Wahrscheinlichkeitsmasse und keine kumulierte Wahrscheinlichkeit.

So geben Sie p und k ein und lesen das Ergebnis

Geben Sie p als Zahl größer als null und höchstens gleich eins an. Dezimalwahrscheinlichkeiten verwenden die direkte Skala: Geben Sie 0.25 für eine Erfolgswahrscheinlichkeit von fünfundzwanzig Prozent ein, nicht 25. Die Wahrscheinlichkeit eins ist zulässig und bedeutet, dass bereits der erste Versuch immer erfolgreich ist. Null wird zurückgewiesen, da eine geometrische Wartezeit nicht definiert ist, wenn ein Erfolg unmöglich bleibt. Geben Sie k als ganze Versuchszahl ab eins an. Brüche, null und negative Werte sind ungültig, weil die Verteilung durch diskrete Versuche indiziert wird. Die Felder cdf und probability geben beide die Erfolgswahrscheinlichkeit bis zur angegebenen Grenze aus. failure_probability zeigt die ergänzende Chance, dass alle k Versuche scheitern. percent eignet sich für die Anzeige, während die numerischen Felder für weitere Berechnungen besser sind. Wenn beispielsweise p gleich 0.25 und k gleich 4 ist, misst das Ergebnis die Chance auf mindestens einen Erfolg in vier unabhängigen Gelegenheiten. Die Berechnung nimmt weder an, dass Sie die Erfolgswahrscheinlichkeit anhalten und neu starten, noch zählt sie die erwartete Gesamtzahl der Erfolge.

Annahmen, numerisches Verhalten und praktische Nutzung

Verwenden Sie dieses Modell nur, wenn die Versuche hinreichend unabhängig sind und die Erfolgswahrscheinlichkeit konstant bleibt. Verändert ein Versuch den nächsten, werden Elemente ohne Zurücklegen entnommen oder ändert sich p mit der Zeit, beschreibt die einfache geometrische Verteilungsfunktion den Vorgang möglicherweise nicht passend. Bei einer festen Versuchszahl und Fragen zu mehreren Erfolgen ist meistens ein Binomialmodell geeigneter. Diese Implementierung berechnet das Gegenereignis mit logarithmischen und exponentiellen Funktionen, die besonders bei sehr kleinem p numerisch stabil sind. Dadurch wird ein großer Teil des Genauigkeitsverlusts vermieden, der beim direkten Subtrahieren einer extrem nahe bei eins liegenden Potenz entsteht. Es bleibt standardmäßige Arithmetik mit endlicher Genauigkeit; außergewöhnlich nahe bei null oder eins liegende Werte können daher als nächstgelegene darstellbare Zahl erscheinen. Die Berechnung ist deterministisch, greift nicht auf das Netzwerk zu und verwendet keine Zufallssimulation. Sie können damit Wiederholungsgrenzen festlegen, Konversionen nach unabhängigen Kontakten abschätzen, Inspektionen planen oder Lehrbuchaufgaben erläutern. Vergleichen Sie unterschiedliche k-Werte, um den Nutzen weiterer Gelegenheiten zu erkennen, und prüfen Sie vor wichtigen Entscheidungen die Modellannahmen.