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Funktionsspiegelung an der x- oder y-Achse berechnen

Der Rechner zur Funktionsspiegelung transformiert eine Regel an einer Koordinatenachse und zeigt genau, wie sich ihr Graph verändert.

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Geben Sie eine Formel wie f(x) = x^2 - 4x + 3 ein, wählen Sie die x- oder y-Achse und Sie erhalten die gespiegelte Regel samt Koordinatenabbildung. Zusätzlich können Sie markante Punkte angeben, um jede ursprüngliche Koordinate ihrer neuen Lage zuzuordnen und die symbolische Änderung gemeinsam mit der grafischen Bewegung zu prüfen.

Eine Funktion an der x-Achse spiegeln

Bei einer Spiegelung an der x-Achse wird jeder Funktionswert umgekehrt. Enthält der ursprüngliche Graph den Punkt (x, y), enthält der gespiegelte Graph (x, -y). Die waagerechte Koordinate bleibt unverändert, während die senkrechte ihr Vorzeichen wechselt. Symbolisch wird aus y = f(x) die Regel y = -f(x). Der Rechner setzt deshalb ein Minuszeichen vor die gesamte geklammerte Ausgangsformel. Das ist bei mehreren Termen entscheidend. So wird f(x) = x^2 - 4x + 3 zu f(x) = -(x^2 - 4x + 3). Der Graph klappt vertikal um: Hochpunkte werden zu gleich weit entfernten Tiefpunkten, positive y-Achsenabschnitte werden negativ und alle Nullstellen bleiben fest. Mit markanten Punkten wird die Bewegung unmittelbar sichtbar. Ein Scheitelpunkt bei (2, -1) wandert nach (2, 1), während (1, 0) unverändert bleibt. Damit können Sie eine Skizze kontrollieren und Vorzeichenfehler beim späteren Ausmultiplizieren vermeiden.

Eine Funktion an der y-Achse spiegeln

Bei einer Spiegelung an der y-Achse werden die Eingaben statt der Ausgaben umgekehrt. Jeder Punkt (x, y) wandert nach (-x, y); seine horizontale Lage ändert sich, seine Höhe bleibt gleich. In Funktionsschreibweise wird y = f(x) zu y = f(-x). Der Rechner ersetzt jedes eigenständige x durch (-x) und erhält die Klammern. Daher wird f(x) = x^3 + 2x zu f(x) = (-x)^3 + 2(-x). Die sichtbare Einsetzung erklärt besser als eine sofortige Vereinfachung, warum Terme mit ungeradem Exponenten das Vorzeichen wechseln und solche mit geradem Exponenten nicht. Punkte auf der y-Achse bleiben fest. Andere Merkmale tauschen links und rechts: Ein Hochpunkt bei (-3, 5) erscheint bei (3, 5), eine Nullstelle bei 4 bei -4. Ergibt das Einsetzen von -x eine gleichwertige Regel, ist die Funktion gerade und der gespiegelte Graph deckt sich mit dem Original.

Das Ergebnis lesen und prüfen

Die Ausgabe trennt drei Aussagen: die transformierte Funktionsregel, die allgemeine algebraische Transformation und die Punktregel. Lesen Sie die erste als die zu zeichnende Formel. Die zweite zeigt, ob die Negation außerhalb der Funktion als -f(x) oder innerhalb ihres Arguments als f(-x) steht. Mit der Punktregel prüfen Sie anschließend einzelne Merkmale. Optionale markante Punkte werden als Paare aus Ausgangs- und Zielkoordinate ausgegeben. So lassen sich Scheitelpunkte, Achsenschnitte, Endpunkte oder Wendestellen ohne Kopfrechnen kontrollieren. Der Rechner behandelt die Eingabe symbolisch; er multipliziert nicht aus, faktorisiert nicht und wertet nicht numerisch aus. Dadurch bleiben die eingegebene Struktur und ihre Exaktheit erhalten. Zulässig sind algebraische Texte mit x, Zahlen, Operatoren, Klammern und benannten Funktionen; nicht unterstützte Zeichen oder unausgeglichene Klammern werden abgewiesen. Schreiben Sie bei Mehrdeutigkeit ein Multiplikationszeichen, prüfen Sie, ob die Punkte wirklich auf dem ursprünglichen Graphen liegen, und beachten Sie, dass eine Spiegelung Abstände und die Gesamtform erhält.

Anwendungsfälle

Einen transformierten Graphen prüfen

Erzeugen Sie die Spiegelungsregel und verschieben Sie Scheitelpunkt und Achsenschnitte vor dem Zeichnen.

Funktionstransformationen üben

Vergleichen Sie -f(x) und f(-x), um die unterschiedlichen Bewegungen derselben Punkte zu erkennen.

Aufgaben und Beispiele kontrollieren

Finden Sie mit dem symbolischen Ergebnis und den Koordinatenpaaren falsch gesetzte Minuszeichen.

Häufige Fragen

Wie viel kostet die Nutzung?

Auf dieser Seite ist die Nutzung im Browser kostenlos; eine API-Anfrage kostet $0.002.

Wie spiegele ich eine Funktion an der x-Achse?

Negieren Sie den gesamten Funktionswert: Ersetzen Sie y = f(x) durch y = -f(x). Aus (x, y) wird (x, -y).

Wie spiegele ich eine Funktion an der y-Achse?

Negieren Sie die Eingabe: Ersetzen Sie y = f(x) durch y = f(-x). Aus (x, y) wird (-x, y).

Vereinfacht der Rechner den gespiegelten Ausdruck?

Nein. Die Einsetzung bleibt geklammert sichtbar, damit Sie die exakte Spiegelung vor dem Vereinfachen nachvollziehen können.

Welche Punkte bleiben bei einer Spiegelung fest?

Punkte auf der Spiegelachse bleiben unverändert: Nullstellen bei der x-Achse und Punkte mit x = 0 bei der y-Achse.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/function-reflection

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-reflection \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"function":"f(x) = x^2 - 4x + 3","axis":"y"}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-reflection", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "function": "f(x) = x^2 - 4x + 3",
    "axis": "y"
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-reflection",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "function": "f(x) = x^2 - 4x + 3",
    "axis": "y"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-reflection", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"function":"f(x) = x^2 - 4x + 3","axis":"y"}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"function":"f(x) = x^2 - 4x + 3","axis":"y"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/function-reflection", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "function": "f(x) = x^2 - 4x + 3",
  "axis": "y"
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.function_reflection",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Limits

`max_rule_chars`	500
`max_points`	100

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

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