Racines cubiques complexes

Ce calculateur les détermine avec la formule de De Moivre et présente chaque résultat sous forme polaire et cartésienne. Saisissez les composantes réelle et imaginaire du nombre initial afin d'obtenir son module et son argument principal, puis le module, l'angle en radians et en degrés, ainsi que les composantes de chaque racine. Le cas zéro est traité explicitement et donne trois racines nulles confondues.

Saisissez le nombre complexe sous forme cartésienne

Décrivez le nombre sous la forme a + bi en plaçant a dans le champ réel et b dans le champ imaginaire. Les deux valeurs peuvent être positives, négatives ou nulles, mais doivent être des nombres finis. Par exemple, saisissez 8 et 0 pour 8 + 0i, ou 0 et -8 pour -8i. Le calculateur convertit d'abord cette paire en forme polaire. Le module correspond à la distance à l'origine et se calcule comme la racine carrée de la somme des carrés de a et b. L'argument principal est obtenu avec l'arctangente à deux arguments, qui conserve le bon quadrant et les signes. L'angle initial appartient à la branche principale habituelle, comprise entre pi négatif et pi positif. La saisie cartésienne évite toute ambiguïté sur les conventions angulaires et simplifie les valeurs placées sur les axes. Si les deux composantes sont nulles, l'argument affiché vaut zéro par convention pratique, bien que l'argument géométrique de zéro soit indéfini. Les trois racines indiquées représentent alors le même zéro.

Comment la formule de De Moivre donne trois racines

Écrivez le nombre initial comme r multiplié par l'exponentielle de i theta, où r désigne son module et theta son argument principal. D'après la formule de De Moivre, chaque racine cubique possède pour module la racine cubique réelle de r. Les angles possibles sont theta divisé par trois, theta plus deux pi divisé par trois et theta plus quatre pi divisé par trois. Le calculateur emploie donc (theta + 2 pi k) / 3 pour k égal à 0, 1 et 2. Ajouter un tour complet avant de diviser crée des racines séparées de 120 degrés, d'où trois réponses distinctes dès que l'entrée n'est pas nulle. Élever l'une de ces racines au cube multiplie son angle par trois ; les tours complets supplémentaires disparaissent et le nombre initial réapparaît. Chaque racine porte l'indice k et fournit son module ainsi que son angle polaire en radians et en degrés. Il est inutile de ramener les angles dans un intervalle unique : des angles coterminaux décrivent le même point et la séquence affichée rend la construction de De Moivre transparente.

Interprétez et vérifiez les résultats cartésiens

Toute racine polaire de module rho et d'angle phi est également convertie sous forme cartésienne : sa partie réelle vaut rho multiplié par le cosinus de phi, et sa partie imaginaire rho multiplié par le sinus de phi. Vous pouvez ainsi employer immédiatement les réponses dans un calcul utilisant x + yi, tout en conservant les valeurs polaires qui révèlent leur symétrie. Les minuscules résidus d'arrondi proches de zéro sont normalisés et les nombres sont arrondis de manière déterministe à douze décimales. Les résultats usuels restent donc lisibles sans modifier la méthode. Pour contrôler une réponse, calculez son cube par multiplication complexe, ou élevez son module polaire au cube et triplez son angle. Vous devez retrouver les composantes saisies, à la précision flottante habituelle près. Comparez aussi les trois sorties : leurs modules doivent être identiques et deux angles successifs doivent différer de 120 degrés. Le service est déterministe, sans réseau ni hasard, et coûte $0.002 par élément via l'API ; la page exécute directement le même calcul.