Radici cubiche complesse

Questa calcolatrice le trova con la formula di De Moivre e presenta ogni risultato sia in forma polare sia in forma cartesiana. Inserisca le componenti reale e immaginaria del numero iniziale per ottenere il suo modulo e l'argomento principale, seguiti dal modulo, dall'angolo in radianti e gradi e dalle componenti di ogni radice. Lo zero viene gestito esplicitamente e restituisce tre radici nulle coincidenti.

Inserisca il numero complesso in forma cartesiana

Descriva il numero come a + bi, inserendo a nel campo reale e b nel campo immaginario. Entrambi i valori possono essere positivi, negativi o nulli, ma devono essere numeri finiti. Per esempio, 8 + 0i richiede 8 come parte reale e 0 come parte immaginaria, mentre per -8i deve inserire 0 e -8. La calcolatrice converte innanzitutto la coppia in forma polare. Il modulo è la distanza dall'origine e si calcola come radice quadrata della somma dei quadrati di a e b. L'argomento principale si ottiene con l'arcotangente a due argomenti, che conserva il quadrante corretto e le informazioni sui segni. L'angolo iniziale appartiene al consueto ramo principale compreso tra pi negativo e pi positivo. L'inserimento delle componenti cartesiane evita ambiguità sulle convenzioni angolari e rende semplici anche i valori sugli assi. Se entrambe le componenti sono zero, per praticità viene indicato un argomento nullo, sebbene geometricamente l'argomento dello zero non sia definito. Le tre radici visualizzate rappresentano allora lo stesso zero.

Come la formula di De Moivre genera tre radici

Scriva il valore iniziale come r moltiplicato per l'esponenziale di i theta, dove r è il modulo e theta l'argomento principale. La formula di De Moivre stabilisce che ogni radice cubica ha un modulo pari alla radice cubica reale di r. Gli angoli possibili sono theta diviso tre, theta più due pi diviso tre e theta più quattro pi diviso tre. In modo equivalente, la calcolatrice usa (theta + 2 pi k) / 3 per k uguale a 0, 1 e 2. Aggiungere un giro completo prima della divisione produce radici separate da 120 gradi; ecco perché le risposte sono tre e distinte quando il valore iniziale non è zero. Elevando al cubo una qualsiasi radice, il suo angolo viene triplicato; i giri completi aggiuntivi scompaiono e si recupera il numero originale. Ogni risultato è identificato dall'indice k e riporta modulo e angolo polare sia in radianti sia in gradi. Non occorre ricondurre tutti gli angoli a un unico intervallo: gli angoli coterminali descrivono lo stesso punto e la sequenza mostrata rende evidente la costruzione diretta di De Moivre.

Legga e verifichi i risultati cartesiani

Ogni radice polare con modulo rho e angolo phi viene convertita anche in forma cartesiana: la parte reale è rho per il coseno di phi e quella immaginaria è rho per il seno di phi. Può quindi utilizzare subito le risposte nei calcoli che richiedono x + yi, mantenendo i valori polari che ne evidenziano la simmetria. I piccoli residui in virgola mobile vicini allo zero vengono normalizzati e i numeri sono arrotondati deterministicamente a dodici cifre decimali. In questo modo i risultati consueti restano leggibili, senza alterare il metodo. Per controllare una risposta, ne calcoli il cubo con la moltiplicazione complessa oppure elevi al cubo il modulo polare e triplichi l'angolo. Dovrebbe ritrovare le componenti iniziali entro la normale precisione in virgola mobile. Confronti anche le tre uscite: i moduli devono coincidere e gli angoli consecutivi devono differire di 120 gradi. Il servizio è deterministico, non usa rete né casualità e costa $0.002 per elemento tramite API; la pagina esegue direttamente lo stesso calcolo.