Komplexe Kubikwurzeln

Dieser Rechner bestimmt alle drei mit der Formel von de Moivre und gibt jedes Ergebnis in Polarform und kartesischer Form aus. Geben Sie Real- und Imaginärteil der Ausgangszahl ein. Sie erhalten deren Betrag und Hauptargument sowie Betrag, Winkel in Radiant und Grad und die beiden Komponenten jeder Wurzel. Null wird ausdrücklich berücksichtigt und liefert drei zusammenfallende Nullwurzeln.

Geben Sie die komplexe Zahl in kartesischer Form ein

Beschreiben Sie die Zahl als a + bi, indem Sie a in das Feld für den Realteil und b in das Feld für den Imaginärteil eintragen. Beide Werte dürfen positiv, negativ oder null sein, müssen aber endliche Zahlen sein. Für 8 + 0i geben Sie beispielsweise 8 und 0 ein; für -8i verwenden Sie 0 und -8. Der Rechner wandelt dieses Paar zunächst in die Polarform um. Der Betrag ist der Abstand vom Ursprung und wird als Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate von a und b berechnet. Das Hauptargument entsteht mit dem Arkustangens aus zwei Argumenten, der den richtigen Quadranten und die Vorzeichen bewahrt. Der Eingabewinkel liegt auf dem üblichen Hauptzweig zwischen negativem und positivem pi. Kartesische Komponenten vermeiden Unklarheiten über Winkelkonventionen und vereinfachen Werte auf den Achsen. Sind beide Komponenten null, wird für diese Berechnung vereinbarungsgemäß das Argument null ausgegeben, obwohl das geometrische Argument von null nicht definiert ist. Alle drei Wurzeleinträge stehen dann für dieselbe Null.

So erzeugt die Formel von de Moivre drei Wurzeln

Schreiben Sie die Eingabe als r mal die Exponentialfunktion von i theta, wobei r den Betrag und theta das Hauptargument bezeichnet. Nach der Formel von de Moivre besitzt jede Kubikwurzel den Betrag der reellen Kubikwurzel von r. Die möglichen Winkel sind theta geteilt durch drei, theta plus zwei pi geteilt durch drei und theta plus vier pi geteilt durch drei. Entsprechend verwendet der Rechner (theta + 2 pi k) / 3 für k gleich 0, 1 und 2. Wird vor dem Teilen eine weitere volle Umdrehung hinzugefügt, entstehen um 120 Grad versetzte Wurzeln. Deshalb gibt es bei einer Eingabe ungleich null drei verschiedene Lösungen. Beim Kubieren einer Wurzel wird ihr Winkel verdreifacht; die zusätzlichen vollen Umdrehungen verschwinden, sodass die Ausgangszahl wieder entsteht. Jedes Ergebnis trägt den Index k und zeigt seinen polaren Betrag sowie den Winkel in Radiant und Grad. Die Winkel müssen nicht in ein gemeinsames Intervall gezwungen werden, denn koterminale Winkel bezeichnen denselben Punkt. Die angezeigte Folge bildet die direkte Konstruktion nach de Moivre klar ab.

Lesen und prüfen Sie die kartesischen Ergebnisse

Jede polare Wurzel mit dem Betrag rho und dem Winkel phi wird zusätzlich in die kartesische Form umgerechnet. Ihr Realteil ist rho mal Kosinus von phi, ihr Imaginärteil rho mal Sinus von phi. Dadurch können Sie die Lösungen sofort in Rechnungen mit x + yi verwenden und behalten zugleich die Polarwerte, welche die Symmetrie sichtbar machen. Sehr kleine Gleitkommareste nahe null werden normalisiert; die Ausgabe wird deterministisch auf zwölf Dezimalstellen gerundet. So erscheint bei vertrauten Ergebnissen null statt eines winzigen trigonometrischen Artefakts, ohne die Methode zu verändern. Zur Kontrolle können Sie den kartesischen Wert durch komplexe Multiplikation kubieren oder den polaren Betrag hoch drei nehmen und den Winkel verdreifachen. Innerhalb der üblichen Gleitkommagenauigkeit sollten die eingegebenen Komponenten wieder erscheinen. Vergleichen Sie außerdem alle drei Ausgaben: Ihre Beträge müssen gleich sein und aufeinanderfolgende Winkel um 120 Grad auseinanderliegen. Der Dienst ist deterministisch, nutzt weder Netzwerk noch Zufall und kostet $0.002 je API-Element; die Seitenversion führt dieselbe Rechnung direkt aus.