Aire d’un triangle sphérique par latitude et longitude

Il convertit les coordonnées en vecteurs unitaires, mesure les trois angles intérieurs formés par les arcs de grand cercle les plus courts, puis applique le théorème de Girard : la somme des angles moins 180 degrés constitue l’excès sphérique. Cet excès en radians, multiplié par le carré du rayon, donne l’aire. Vous pouvez conserver le rayon terrestre moyen proposé ou saisir un autre rayon positif.

Définissez le triangle par trois sommets géographiques

Saisissez exactement trois sommets dans l’ordre du contour, chacun avec une latitude et une longitude en degrés décimaux. La latitude doit être comprise entre -90 et 90, et la longitude entre -180 et 180. L’ordre peut être horaire ou antihoraire, car l’aire renvoyée est non signée. Chaque côté correspond au plus court arc de grand cercle reliant ses extrémités, et non à une droite sur une carte plane ni à une loxodromie de cap constant. Cette distinction devient importante lorsque le triangle couvre une part notable du globe. Le rayon par défaut est de 6,371,008.8 mètres, soit le rayon terrestre moyen de l’IUGG ; le résultat principal est donc exprimé en mètres carrés, avec une valeur complémentaire en kilomètres carrés. Vous pouvez fournir tout rayon positif et fini en mètres pour modéliser une autre sphère. Le calculateur exige des sommets distincts et refuse les paires antipodales ainsi que les points placés sur un même grand cercle qui ne délimitent aucune aire valide.

Comprenez l’excès sphérique et les angles fournis

Dans un triangle plan, la somme des angles intérieurs vaut toujours 180 degrés. Sur une sphère, un triangle bordé par des grands cercles présente une somme supérieure ; la différence s’appelle l’excès sphérique. Le calculateur transforme chaque couple latitude-longitude en vecteur unitaire tridimensionnel. À chaque sommet, il projette les directions vers les deux autres points sur le plan tangent local, puis mesure leur angle avec un calcul atan2 stable. Si les angles en radians sont A, B et C, l’excès vaut E = A + B + C - pi. Le théorème de Girard donne alors l’aire : E multiplié par le rayon au carré. La réponse présente les trois angles dans l’ordre de saisie et l’excès en degrés, même si le calcul de l’aire emploie les radians. À titre de repère, le triangle reliant deux points équatoriaux séparés de 90 degrés au pôle Nord possède trois angles de 90 degrés et occupe un huitième de la sphère.

Interprétez correctement le résultat sphérique

Le résultat est exact pour le modèle sphérique défini par le rayon fourni, sous réserve des arrondis en virgule flottante. La Terre n’étant pas une sphère parfaite, cette valeur peut différer d’une aire géodésique ellipsoïdale calculée sur WGS84, surtout pour de vastes régions ou des travaux topographiques. Utilisez cet outil pour l’enseignement de la géométrie, les estimations géographiques rapides, les modèles planétaires, les simulations et les systèmes dont les coordonnées reposent déjà sur une sphère. Ne l’employez pas comme mesure cadastrale ou juridique. L’option de précision règle l’affichage de zéro à douze décimales sans modifier le calcul interne. Les triangles extrêmement étroits peuvent atteindre les limites de l’arithmétique flottante et sont refusés lorsque leur excès devient indiscernable de zéro. La sortie est déterministe et ne dépend ni du réseau, ni du hasard, ni de l’heure. Le calcul dans le navigateur peut être gratuit ; une requête API automatisée applique le tarif de base affiché de $0.002. Conservez les sommets d’origine avec le résultat si vous devez reproduire ultérieurement le modèle et le contour utilisés.