Calculadora de iteración de funciones

Introduzca una expresión en x, elija x_0 e indique cuántas iteraciones desea realizar. El resultado incluye el valor inicial, cada salida sucesiva y el valor final. Así puede estudiar relaciones de recurrencia, puntos fijos, ciclos, convergencia, divergencia y los primeros pasos de sistemas dinámicos sencillos sin resolver cada sustitución a mano.

Introduzca la función y el valor inicial

Escriba la regla como una expresión en x, por ejemplo x^2 - 1, cos(x) o 0.5*x + 3. La calculadora admite paréntesis, números decimales y notación científica, los operadores +, -, *, / y ^, además de las constantes pi y e. Entre las funciones de un argumento disponibles están abs, sqrt, sin, cos, tan, exp, ln, log, floor, ceil y round. La multiplicación debe indicarse de forma explícita: escriba 2*x, no 2x. Después proporcione un valor real finito como punto de partida. Ese número es x_0, el primer elemento de la órbita, y no el resultado de la primera aplicación. Por último, seleccione entre cero y mil iteraciones. Con cero se devuelve únicamente el punto inicial, algo útil para comprobar la interpretación de la entrada. La expresión se analiza como matemática y nunca se ejecuta como código; cualquier nombre, sintaxis u operación ajena a la gramática documentada genera un error de entrada claro.

Lea la órbita en el orden correcto

Si la regla introducida es f y el valor inicial es x_0, la calculadora obtiene x_1 = f(x_0), después x_2 = f(x_1), y continúa hasta x_n. Por ello, el array orbit contiene n + 1 valores: primero el valor inicial en el índice cero y luego un valor por cada aplicación solicitada. El campo final_value repite el último elemento para facilitar su uso en scripts, mientras iterations registra el número de aplicaciones pedido. Esta distinción evita el frecuente error de contar una posición de más o de menos. Por ejemplo, tres iteraciones no producen tres puntos totales, sino x_0, x_1, x_2 y x_3. Los valores se normalizan a quince cifras significativas para reducir colas molestas de coma flotante binaria sin perder precisión útil. Esta normalización no convierte la iteración numérica en álgebra simbólica, y el redondeo puede influir en sistemas muy sensibles tras muchos pasos. Considere las órbitas caóticas largas como aproximaciones numéricas, sobre todo si valores iniciales cercanos se separan rápidamente.

Interprete la convergencia, los ciclos y los errores

Los valores sucesivos suelen mostrar el comportamiento cualitativo de una recurrencia. Si las últimas entradas se estabilizan cerca de un número, este puede ser un punto fijo atractivo: al sustituirlo en la función se obtiene aproximadamente el mismo valor. La alternancia entre unos pocos valores repetidos sugiere un ciclo, mientras que magnitudes que aumentan sin cesar pueden indicar divergencia. Una lista finita no demuestra por sí sola ninguno de estos fenómenos, pero aporta indicios y un punto de partida práctico. Compare órbitas de varios valores iniciales próximos cuando estudie la estabilidad. La calculadora se detiene con un error de entrada si una operación produce Infinity o NaN, por ejemplo tras dividir por cero, extraer la raíz cuadrada de un número negativo o calcular un logaritmo no válido. El error identifica la iteración en la que dejó de existir la órbita real. Los límites de longitud e iteraciones mantienen predecible la ejecución tanto en navegador como mediante API. Sin red, azar, reloj ni estado oculto, una entrada válida idéntica siempre produce la misma salida.