Número complexo para forma trigonométrica

Você recebe o argumento em radianos e em graus, além de uma expressão trigonométrica pronta para copiar: r(cos(θ) + i sen(θ)). É exatamente o mesmo cálculo feito à mão em um curso de matemática, executado de forma determinística em uma única chamada, sem desvio de arredondamento entre máquinas e sem truques de aproximação: apenas a hipotenusa para o módulo e o arco tangente de dois argumentos para o ângulo.

Da forma retangular à trigonométrica

Um número complexo escrito como a + bi está na forma retangular: ele localiza um ponto no plano percorrendo a unidades sobre o eixo real e b unidades sobre o eixo imaginário. A forma trigonométrica descreve o mesmo ponto como um navegador faria — por distância e direção. A distância é o módulo, calculado como a raiz quadrada de a ao quadrado mais b ao quadrado, e a direção é o argumento, o ângulo medido no sentido anti-horário a partir do semieixo real positivo. Desenvolvido, o número fica r multiplicado pelo cosseno do ângulo mais i vezes o seno do ângulo. Nada no número muda; muda apenas a descrição. E é justamente essa mudança de descrição que torna simples a multiplicação, a divisão, as potências e as raízes de números complexos, pois em linguagem polar essas operações viram multiplicar módulos e somar ângulos. Este endpoint realiza a conversão em um único passo determinístico e devolve cada parte do resultado para que você use aquela de que precisa no próximo cálculo.

Como o módulo e o argumento são calculados

O módulo é calculado com o algoritmo da hipotenusa em vez da ingênua raiz quadrada da soma dos quadrados, o que importa para componentes muito grandes ou muito pequenas: a fórmula ingênua pode transbordar para infinito ou desaparecer em zero mesmo quando a resposta verdadeira é um número perfeitamente comum. O argumento é calculado com o arco tangente de dois argumentos, e não com um arco tangente simples de b sobre a. Essa distinção é o que coloca o ângulo no quadrante correto: um mais i e menos um menos i têm a mesma razão b sobre a, mas apontam em direções opostas, e somente a versão de dois argumentos consegue diferenciá-los. O resultado é o valor principal do argumento, situado no intervalo semiaberto de menos pi a pi, devolvido em radianos e convertido para graus. As duas entradas devem ser números finitos; uma cadeia que não pode ser interpretada, um infinito ou um NaN são rejeitados como entrada inválida, em vez de serem convertidos silenciosamente.

Onde a conversão se mostra útil

A forma trigonométrica é a representação de trabalho onde quer que números complexos sejam multiplicados repetidamente. Engenheiros eletricistas a usam para combinar impedâncias e defasagens na análise de circuitos de corrente alternada, em que o módulo é uma magnitude e o argumento é um ângulo de fase. Códigos de processamento de sinais a usam para ler a magnitude e a fase de um bin de frequência vindo de uma transformada de Fourier. Estudantes a usam para aplicar o teorema de De Moivre, que eleva um número complexo a uma potência elevando o módulo e multiplicando o ângulo — quase impossível na forma retangular, quase trivial na forma polar. Esta capacidade roda em nossa edge global sem guardar nada após a chamada, e o mesmo código que roda aqui roda grátis no seu navegador nesta página, de modo que você pode conferir um número à mão e só paga US$ 0,002 por requisição quando automatiza a conversão dentro de um pipeline.