Número complexo pelo módulo e argumento

Informe um módulo não negativo, forneça um argumento e especifique se o ângulo está em radianos ou graus. A calculadora retorna a parte real e o coeficiente imaginário do número resultante a + bi. Ela foi criada para conferências manuais claras e cálculos estruturados por API, com validação explícita que rejeita módulos negativos, valores ausentes, números não finitos e unidades angulares incompatíveis, sem tentar adivinhar o significado da entrada.

Informe o módulo, o argumento e a unidade angular

Comece pela descrição polar do número complexo. O módulo, geralmente representado por r, é a distância até a origem no plano complexo e precisa ser um número finito maior ou igual a zero. Informe-o no campo modulus; integrações também podem usar o alias curto r. Um módulo negativo é rejeitado porque esta calculadora segue a convenção polar padrão, na qual a distância não pode ser negativa. Em seguida, informe o argumento, geralmente representado por theta. Ele descreve a direção medida a partir do eixo real positivo. O argumento também precisa ser finito, mas pode ser positivo, negativo, zero ou maior que uma volta completa. Ângulos côngruos são válidos porque seno e cosseno os reduzem naturalmente ao mesmo ponto. Por fim, selecione radianos ou graus. Radianos são o padrão e são adequados para fórmulas matemáticas e para a maioria dos ambientes de programação. Graus podem ser mais convenientes em geometria, fasores e rotações conhecidas. O alias theta pode substituir argument, embora os nomes canônicos facilitem a compreensão das solicitações armazenadas. Verifique sempre se a unidade declarada corresponde ao argumento numérico, pois um ângulo de 90 radianos é muito diferente de um ângulo de 90 graus.

Entenda o cálculo da forma polar para a retangular

A conversão usa a identidade trigonométrica padrão z = r(cos theta + i sin theta). A componente real é calculada como a = r cos theta, enquanto a componente imaginária é calculada como b = r sin theta. Quando graus são selecionados, a calculadora primeiro converte o argumento fornecido em radianos, pois as funções trigonométricas do JavaScript recebem radianos. Depois, ela calcula o cosseno e o seno e multiplica cada valor pelo módulo. Os sinais posicionam o número no quadrante correto: o quadrante I tem partes real e imaginária positivas; o II tem parte real negativa e imaginária positiva; o III tem ambas negativas; e o IV tem parte real positiva e imaginária negativa. Se o módulo for zero, as duas componentes retangulares serão zero para qualquer argumento finito, refletindo o fato de que todas as direções se encontram na origem. A trigonometria de ponto flutuante pode gerar resíduos mínimos, como uma parte real quase zero em um ângulo reto. A implementação normaliza resíduos desprezíveis e zero negativo para zero comum e limita o ruído binário excedente com formatação estável de algarismos significativos. Essa limpeza melhora a leitura sem alterar o ponto matemático pretendido.

Leia, confira e reutilize o resultado retangular

A resposta contém dois campos numéricos: real e imaginary. Leia-os como o número complexo retangular real + imaginary vezes i. Se imaginary for negativo, escreva o número com subtração, evitando um sinal duplo; por exemplo, real 3 e imaginary -4 representam 3 - 4i. Para conferir a conversão, calcule a distância sqrt(real squared + imaginary squared). Exceto pelo arredondamento normal de ponto flutuante, ela deve corresponder ao módulo original. Você também pode verificar o quadrante e compará-lo à direção do argumento informado. Para um argumento de 120 graus e módulo positivo, a parte real deve ser negativa e a imaginária positiva. Os campos numéricos podem ser enviados diretamente para etapas posteriores de álgebra, gráficos, processamento de sinais ou armazenamento, sem analisar uma expressão de exibição. Cada solicitação converte uma descrição polar e é cobrada como um item a US$ 0,002. O algoritmo é determinístico e não usa rede, armazenamento persistente, valor aleatório ou relógio; portanto, entradas válidas idênticas produzem o mesmo JSON. A validação ocorre antes do cálculo: módulos negativos, campos não numéricos, infinitos e unidades angulares desconhecidas retornam erro de entrada inválida. Esse comportamento rigoroso impede que registros malformados pareçam números complexos plausíveis em fluxos em lote.