Número complexo para forma polar

Informe a parte real a e o coeficiente imaginário b e escolha radianos ou graus. O resultado inclui valores numéricos e uma representação trigonométrica pronta para leitura. A ferramenta ajuda a conferir álgebra, preparar cálculos de fasores e transformar dados estruturados sem depender da interpretação ambígua de expressões.

Informe corretamente os componentes retangulares

Comece com um número complexo na forma retangular, a + bi. A entrada real é a, a coordenada horizontal no plano complexo, e a entrada imaginária é b, o coeficiente com sinal de i e a coordenada vertical. Para 3 + 4i, informe 3 e 4. Para 3 - 4i, informe 3 e -4; o sinal de menos pertence ao coeficiente imaginário. As duas entradas precisam ser números finitos. Por isso, textos contendo a expressão inteira, infinito ou valores ausentes são rejeitados em vez de interpretados por suposição. Essa estrutura explícita torna a calculadora confiável tanto em um fluxo de API quanto no uso manual. O campo imaginário também aceita os aliases imag e im em integrações que já utilizam esses nomes, embora imaginary seja o campo canônico mais claro. Escolha a unidade angular da saída antes de interpretar theta. Radianos são o padrão e aparecem com frequência na matemática avançada e nas bibliotecas de programação. Graus podem ser mais convenientes em geometria, álgebra introdutória, circuitos e rotações conhecidas. A unidade escolhida altera somente a apresentação de theta, não o número complexo representado.

Entenda o cálculo do módulo e do argumento

O módulo é a distância da origem até o ponto (a, b) no plano complexo. Ele é calculado como r = sqrt(a squared + b squared), com uma operação hypot estável, e portanto nunca é negativo. O argumento descreve a direção desse ponto a partir do eixo real positivo. O cálculo usa atan2(b, a), e não a arcotangente comum, pois atan2 preserva os sinais das duas coordenadas e identifica o quadrante correto. O theta retornado é o argumento principal: em radianos, fica entre -pi e pi; em graus, entre -180 e 180, conforme o comportamento habitual dos extremos de atan2. Ângulos negativos indicam pontos abaixo do eixo real. Outros argumentos coterminais representam o mesmo número após adicionar ou subtrair voltas completas, mas um único valor principal torna os resultados previsíveis e comparáveis. O zero não tem argumento matemático único. Para fornecer uma saída prática e determinística, a calculadora adota theta = 0 quando os dois componentes são zero e produz uma expressão trigonométrica com módulo zero. Resíduos muito pequenos de ponto flutuante e zero negativo são normalizados para deixar o resultado mais claro.

Leia e use a representação trigonométrica

A resposta contém r, theta, angle_unit e uma string trigonométrica na forma r(cos(theta) + i sin(theta)). Os campos numéricos são mais adequados para software: você pode armazená-los, compará-los, representá-los em gráficos ou encaminhá-los a outros cálculos sem analisar texto de exibição. O campo trigonométrico facilita a leitura, a cópia para anotações e a confirmação visual da unidade angular escolhida. Para verificar a conversão, recupere os componentes retangulares com a = r cos(theta) e b = r sin(theta), garantindo que as funções trigonométricas usem a unidade indicada. Por exemplo, um ponto no quadrante II deve ter componente imaginário positivo, componente real negativo e argumento entre 90 e 180 graus. Essa conferência dos sinais identifica muitos erros manuais. A implementação é determinística e não faz solicitações de rede, armazenamento, escolhas aleatórias nem consultas ao relógio; a mesma entrada válida sempre retorna os mesmos valores JSON. Cada cálculo da API processa um número complexo como um item e custa US$ 0,002. O cálculo puro também pode ser usado pelo executor gerado para o navegador, que compartilha a mesma lógica de conversão.