Método de Euler para sistemas 2D

Informe as duas expressões das derivadas, o estado inicial, o passo fixo e a quantidade de etapas. O resultado exibe cada atualização simultânea e as inclinações avaliadas no ponto anterior, permitindo que você confira todo o percurso numérico, e não apenas a resposta final. A ferramenta é útil para estudos, verificações rápidas de modelos e cálculos reproduzíveis com um método transparente de primeira ordem.

Defina o problema acoplado de valor inicial

Escreva a primeira expressão para dy/dx e a segunda para dz/dx. As duas podem usar a variável independente x e as variáveis dependentes y e z. Por exemplo, informe y + z e x - y. A multiplicação precisa ser explícita: use 2*y, não 2y. O analisador aceita parênteses, números decimais e notação científica, os operadores +, -, *, / e ^, as constantes pi e e, além das funções sin, cos, tan, exp, log, sqrt e abs. Em seguida, forneça x0, y0 e z0 para determinar o estado inicial. As duas inclinações são calculadas a partir do mesmo estado atual antes que qualquer variável seja atualizada. Usar um y já atualizado no cálculo de z deixaria de ser o método de Euler explícito padrão.

Entenda cada atualização de passo fixo

Para o passo h e o ponto atual (x_n, y_n, z_n), a calculadora avalia f_n = f(x_n,y_n,z_n) e g_n = g(x_n,y_n,z_n). Depois aplica y_(n+1) = y_n + h*f_n, z_(n+1) = z_n + h*g_n e x_(n+1) = x_n + h. A saída começa na etapa zero, com o estado inicial, e lista todos os pontos calculados. Cada linha posterior inclui dy_dx e dz_dx, as inclinações usadas para chegar até ela. Assim, você pode conferir o trabalho multiplicando cada inclinação pelo passo e somando o resultado ao valor dependente anterior. Um passo negativo permite avançar para valores menores de x. O ponto final é sempre x0 + steps*h, sem arredondamento oculto do destino ou redução do último intervalo.

Escolha o passo e interprete a aproximação

O método de Euler é uma aproximação numérica de primeira ordem, não um solucionador simbólico nem uma garantia de erro. Diminuir o valor absoluto do passo costuma reduzir o erro de discretização em sistemas suaves, mas exige mais etapas. Uma verificação prática é repetir o problema com metade do passo e o dobro de etapas e comparar os estados nos mesmos valores de x. Uma diferença grande mostra que o cálculo mais grosseiro ainda não é adequado. Sistemas rígidos, singulares, descontínuos ou muito sensíveis podem apresentar resultados ruins com Euler explícito. A calculadora interrompe o processamento se uma derivada ou atualização gerar infinito ou NaN. Use o resultado para aprender, auditar um exercício ou obter uma estimativa inicial. Em aplicações críticas, prefira um método adaptativo de ordem superior e valide separadamente o modelo, as tolerâncias e as unidades.