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連立微分方程式のオイラー法計算機

この計算機は、dy/dx = f(x,y,z) と dz/dx = g(x,y,z) で表される2本の連立1階常微分方程式をオイラー法で近似します。2つの導関数式、初期状態、固定刻み幅、反復回数を入力してください。各変数を同時に更新した結果と、その直前の点で評価した傾きをすべて表示します。最終値だけでなく数値解の経路全体を確認できるため、学習、簡単なモデルの検算、再現可能な一次近似に役立ちます。

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連立初期値問題を入力します

1つ目にdy/dx、2つ目にdz/dxの式を入力します。どちらの式でも、独立変数xと従属変数y、zを使用できます。たとえばy + zとx - yです。乗算は2yではなく2*yのように明示してください。括弧、小数、科学表記、演算子+、-、*、/、^、定数piとe、関数sin、cos、tan、exp、log、sqrt、absに対応しています。続いてx0、y0、z0で初期状態を指定します。2つの傾きは、いずれかの変数を更新する前に、同じ現在状態から評価されます。更新済みのyを使ってzを計算すると、標準的な陽的オイラー法ではなくなるためです。

固定刻みの更新を確認します

刻み幅をh、現在点を(x_n, y_n, z_n)とすると、f_n = f(x_n,y_n,z_n)およびg_n = g(x_n,y_n,z_n)を評価します。その後、y_(n+1) = y_n + h*f_n、z_(n+1) = z_n + h*g_n、x_(n+1) = x_n + hを適用します。出力は入力した初期状態を示すステップ0から始まり、全計算点を順に掲載します。各行のdy_dxとdz_dxは、直前の点からその行へ進むために使った傾きです。傾きに刻み幅を掛け、前の値に加えることで手計算を確認できます。負の刻み幅なら小さいxの方向へ計算できます。終点は常にx0 + steps*hであり、終点の隠れた丸めや最後の区間短縮はありません。

刻み幅を選び近似を評価します

オイラー法は一次の数値近似であり、記号解法でも誤差保証でもありません。滑らかな系では刻み幅の絶対値を小さくすると離散化誤差が減ることが多い一方、同じ区間により多くの反復が必要です。刻み幅を半分、ステップ数を2倍にして再計算し、同じxの状態を比較すると実用的な確認になります。差が大きければ粗い計算は不十分です。硬い系、特異点や不連続を含む系、感度が高い系では、入力が正しくても陽的オイラー法が適さない場合があります。導関数や更新値が無限大またはNaNになれば処理を停止します。重要な用途では適応型高次法を使い、モデル、許容誤差、単位を別途検証してください。

活用例

微分方程式の課題を検算する

手計算した2つの傾きと同時更新を、再現可能なステップ表と比較できます。

簡単な連成モデルを調べる

相互作用する個体群、区画、状態変数を、高次ソルバーへ進む前に近似できます。

刻み幅への感度を調べる

同じ初期値問題を異なる固定刻み幅で計算し、共通するx座標の状態を比較できます。

よくある質問

利用料金はいくらですか？

ブラウザーでは無料で実行できます。APIリクエスト1回の料金は$0.002です。

yとzは同時に更新されますか？

はい。2つの導関数を同じ現在のx、y、zで評価してから、両方の従属変数を進めます。

どのような式を入力できますか？

x、y、z、明示的な算術演算子、括弧、pi、e、およびsin、cos、tan、exp、log、sqrt、absを使用できます。

xの負方向にも計算できますか？

はい。負のstep_sizeを指定してください。同じxを繰り返すため、0は受け付けません。

1回で何ステップ計算できますか？

固定刻みで1から10,000ステップまで計算でき、全計算点を返します。

オイラー法は正確な解を保証しますか？

いいえ。精度は系と刻み幅に依存します。細分化した結果を比較するか、必要に応じて適応型高次法をご利用ください。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/calculus/euler-method-system-2d

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/calculus/euler-method-system-2d \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"derivative_y":"y + z","derivative_z":"x - y","x0":0,"y0":1,"z0":0,"step_size":0.1,"steps":4}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/calculus/euler-method-system-2d", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "derivative_y": "y + z",
    "derivative_z": "x - y",
    "x0": 0,
    "y0": 1,
    "z0": 0,
    "step_size": 0.1,
    "steps": 4
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/calculus/euler-method-system-2d",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "derivative_y": "y + z",
    "derivative_z": "x - y",
    "x0": 0,
    "y0": 1,
    "z0": 0,
    "step_size": 0.1,
    "steps": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/calculus/euler-method-system-2d", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"derivative_y":"y + z","derivative_z":"x - y","x0":0,"y0":1,"z0":0,"step_size":0.1,"steps":4}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"derivative_y":"y + z","derivative_z":"x - y","x0":0,"y0":1,"z0":0,"step_size":0.1,"steps":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/calculus/euler-method-system-2d", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "derivative_y": "y + z",
  "derivative_z": "x - y",
  "x0": 0,
  "y0": 1,
  "z0": 0,
  "step_size": 0.1,
  "steps": 4
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "calculus.euler_method_system_2d",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

制限

`max_steps`	10000
`max_expression_chars`	500

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

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