Metodo di Eulero per sistemi 2D

Inserisca le due espressioni delle derivate, lo stato iniziale, il passo fisso e il numero di iterazioni. Il risultato mostra ogni aggiornamento simultaneo e le pendenze valutate nel punto precedente, così Lei può esaminare l’intero percorso numerico anziché soltanto il valore finale. È utile per lo studio, per controlli rapidi di modelli e per calcoli riproducibili con un metodo trasparente del primo ordine.

Definisca il problema accoppiato ai valori iniziali

Scriva la prima derivata come espressione di dy/dx e la seconda come espressione di dz/dx. Entrambe possono usare la variabile indipendente x e le variabili dipendenti y e z, per esempio y + z e x - y. La moltiplicazione deve essere esplicita: inserisca 2*y, non 2y. Sono ammessi parentesi, decimali, notazione scientifica, gli operatori +, -, *, / e ^, le costanti pi ed e, e le funzioni sin, cos, tan, exp, log, sqrt e abs. Indichi poi x0, y0 e z0. Le due pendenze vengono valutate sul medesimo stato corrente prima di aggiornare qualsiasi variabile. Usare un valore y già aggiornato per calcolare z non sarebbe più il metodo di Eulero esplicito standard.

Comprenda ogni aggiornamento a passo fisso

Dato il passo h e il punto corrente (x_n, y_n, z_n), il calcolatore valuta f_n = f(x_n,y_n,z_n) e g_n = g(x_n,y_n,z_n), quindi applica y_(n+1) = y_n + h*f_n, z_(n+1) = z_n + h*g_n e x_(n+1) = x_n + h. L’output parte dal passo zero con lo stato iniziale e riporta ogni punto calcolato. In ogni riga successiva, dy_dx e dz_dx sono le pendenze usate per raggiungerla dalla riga precedente. Lei può verificare il conto moltiplicando ciascuna pendenza per il passo e aggiungendo il risultato al valore precedente. Un passo negativo consente di procedere verso x minori. Il punto finale è sempre x0 + steps*h, senza arrotondamenti nascosti né un ultimo intervallo abbreviato.

Scelga il passo e interpreti l’approssimazione

Il metodo di Eulero è un’approssimazione numerica del primo ordine, non un risolutore simbolico né una garanzia sull’errore. Ridurre il valore assoluto del passo spesso diminuisce l’errore di discretizzazione per sistemi regolari, ma richiede più iterazioni. Ripeta il problema con metà passo e il doppio delle iterazioni, quindi confronti gli stati agli stessi valori di x. Differenze ampie indicano che la griglia più grossolana non è adeguata. Sistemi rigidi, singolari, discontinui o molto sensibili possono comportarsi male con Eulero esplicito. Il calcolo si interrompe se una derivata o un aggiornamento produce infinito o NaN. Usi la tabella per imparare, controllare un esercizio o formulare una prima stima. Per impieghi critici scelga un metodo adattivo di ordine superiore e convalidi separatamente modello, tolleranze e unità.