حل معادلة بيل

أدخلوا D لتحصلوا على أصغر زوج من العددين الصحيحين الموجبين x وy يحقق المعادلة. يعتمد الحساب على عمليات صحيحة دقيقة، ولذلك تبقى الإجابات التي تتجاوز المجال العددي المعتاد في JavaScript صحيحة تمامًا. تفيد الأداة في تمارين نظرية الأعداد، ودراسة الكسور المستمرة، واختبار الخوارزميات، والبرامج التي تحتاج إلى حل معياري موثوق لمعادلة بيل.

معنى الحل الأساسي

عند تثبيت عدد صحيح موجب D ليس مربعًا كاملًا، تبحث معادلة بيل عن قيم صحيحة تحقق x² − Dy² = 1. توجد حلول موجبة لا نهائية، لكنها تتولد من زوج واحد أصغر غير تافه. تعيد هذه الحاسبة ذلك الزوج الذي يسمى الحل الأساسي: يكون x وy موجبين، وتتحقق المطابقة بدقة، ولا توجد قيمة موجبة أصغر من x تحل المعادلة نفسها. مثلًا، عندما يكون D = 2 تكون النتيجة x = 3 وy = 2 لأن 3² − 2 × 2² يساوي 1. يجب أن يكون الإدخال عددًا صحيحًا من 2 إلى 10,000,000. يُرفض D إذا كان مربعًا كاملًا، لأن x² − Dy² يتحلل إلى (x − √D y)(x + √D y)، ولا يوجد عندئذ حل موجب تكون فيه y أكبر من صفر. تُعاد النتائج كسلاسل عشرية لا كقيم فاصلة عائمة. يحفظ هذا التمثيل كل رقم حين يكون الحل الأساسي كبيرًا على نحو غير متوقع، وهو أمر يحدث حتى لبعض قيم D المتوسطة. يمكنكم لذلك نسخ الإجابة إلى نظام جبر حاسوبي أو مكتبة دقة اعتباطية من دون تقريب مسبق.

كيف تصل الكسور المستمرة إلى الإجابة

توسّع الخوارزمية √D في صورة كسر مستمر بسيط دوري. تقدم مقارباته تقريبًا نسبيًا p/q يزداد دقةً للقيمة √D، إلى أن يحقق بسط إحدى المقاربات ومقامها العلاقة p² − Dq² = 1. تحدّث الأداة حالة الكسر المستمر وعلاقتي التكرار للمقاربات بعمليات صحيحة حتمية. بعد كل خطوة تختبر مطابقة بيل باستخدام حساب BigInt، ثم تعيد أول حل موجب فورًا. تكون أول مقاربة ناجحة هي الحل الأساسي، ولذلك لا تحتاج الأداة إلى البحث في أزواج صحيحة اعتباطية أو تخمين نطاق x وy. يبين عدد التكرارات عدد المقاربات التي اختُبرت، بما فيها الجزء الصحيح الأولي من √D. يفيد هذا الحقل في مقارنة أطوال الدورات أو فحص الأداء، لكنه لا يغير النتيجة الرياضية. لا يستخدم اختبار المطابقة النهائي أي تقريب عددي. تُستخدم عملية الجذر التربيعي العادية فقط للحصول على الأرضية الصحيحة الدقيقة ضمن نطاق D المحدد، بينما تظل قيم الحل الكبيرة المحتملة وجميع اختبارات المساواة دقيقة بالكامل.

استخدام القيم المعادة والتحقق منها

أرسلوا كائنًا يحوي الحقل d، مثل {"d": 13}. يُقبل أيضًا الاسم البديل D بالحرف الكبير عند نسخ الصيغ المكتوبة بالترميز الشائع. تتضمن الاستجابة الناجحة d وx وy وiterations. تعاملوا في شيفرة تطبيقكم مع x وy كسلسلتين لعددين صحيحين عشريين: تستطيع اللغات التي تدعم أعدادًا صحيحة بدقة اعتباطية تحويلهما مباشرة، أما الأنظمة المقيدة بأعداد ثابتة العرض فعليها إبقاء السلسلتين أو استخدام مكتبة للأعداد الصحيحة الكبيرة. للتحقق المستقل، ربّعوا x واطرحوا D مضروبًا في مربع y، ثم تأكدوا من أن الناتج يساوي واحدًا بالضبط. نفذوا التحقق بحساب صحيح لا بفاصلة عائمة. تؤدي الأنواع غير الصالحة والكسور والقيم خارج النطاق المنشور والمربعات الكاملة إلى خطأ إدخال بدلًا من نتيجة مضللة. لا تستخدم الأداة شبكة أو عشوائية أو حالة مخزنة أو التاريخ الحالي، ولذلك يعطي D نفسه الاستجابة نفسها دائمًا. يناسب المتصفح الحسابات الفردية، بينما تبلغ كلفة API مقدار $0.002 لكل طلب عند دمجها في برنامج نصي أو خدمة تعليمية أو حزمة اختبارات.