ForHosting KIT · 開発者向けツール

ペル方程式ソルバー

このペル方程式ソルバーは、完全平方数ではない正の整数Dについて、x² − Dy² = 1の基本解を求めます。Dを入力すると、方程式を満たす最小の正の整数の組xとyが返されます。計算には厳密な整数演算を用いるため、JavaScriptの通常の数値範囲を超える答えでも精度が失われません。整数論の演習、連分数の学習、アルゴリズムの検証、信頼できる標準的なペル方程式の解を必要とするソフトウェアにご利用いただけます。

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基本解が表すもの

完全平方数ではない正の整数Dを固定すると、ペル方程式はx² − Dy² = 1を満たす整数を求める問題になります。正の解は無限にありますが、それらは最小の非自明な1組から生成されます。この計算機が返すのは基本解と呼ばれるその組です。xとyは正で、恒等式が厳密に成立し、同じ方程式を満たす正のxにこれより小さいものはありません。たとえばD = 2ではx = 3、y = 2となり、3² − 2 × 2²は1です。入力できるのは2から10,000,000までの整数です。Dが完全平方数の場合、x² − Dy²は(x − √D y)(x + √D y)と因数分解され、yが0より大きい正の解が存在しないため拒否されます。結果は浮動小数点値ではなく10進文字列で返されます。そのため、比較的小さなDでも基本解が非常に大きくなった場合に、すべての桁が保たれます。丸めずに数式処理システムや任意精度ライブラリへコピーしていただけます。

連分数で答えを求める仕組み

アルゴリズムは√Dを周期的な単純連分数に展開します。その収束分数は√Dに対する有理数近似p/qを順に改善し、いずれかの分子と分母がp² − Dq² = 1を満たします。ソルバーは、連分数の状態と2つの収束分数の漸化式を決定論的な整数演算で更新します。各ステップの後にBigInt演算でペル恒等式を検査し、最初の正の解を直ちに返します。最初に条件を満たす収束分数が基本解なので、任意の整数の組を総当たりしたり、xとyの探索範囲を推測したりする必要はありません。iterationsは、√Dの最初の整数部分を含めて検査した収束分数の数です。周期長の比較や性能の確認に役立ちますが、数学的な結果には影響しません。最後の恒等式検査に数値近似は使いません。通常の平方根演算は、上限内のDについて正確な床整数を得るためだけに用い、大きくなり得る解とすべての等式検査は厳密に処理します。

返された値の利用方法と検算

{"d": 13}のようにフィールドdを持つオブジェクトを送信してください。一般的な数式表記からコピーする場合は、大文字の別名Dも使用できます。成功時の応答にはd、x、y、iterationsが含まれます。アプリケーションではxとyを10進整数の文字列として扱ってください。任意精度整数を備えた言語では直接変換でき、固定幅数値だけを扱うシステムでは文字列のまま保持するか、多倍長整数ライブラリを使用します。独立して検算するにはxを2乗し、Dにyの2乗を掛けた値を引き、結果が厳密に1になることをご確認ください。浮動小数点ではなく整数演算をお使いください。不正な型、分数、公開範囲外の値、完全平方数には、誤解を招く結果ではなく入力エラーを返します。ネットワーク、乱数、保存状態、現在日時には依存しないため、同じDからは常に同じ応答が得られます。個別計算にはブラウザーが便利で、スクリプト、教育サービス、テストスイートへ組み込む場合のAPI料金は1リクエスト$0.002です。

活用例

整数論の演習を確認する

最小の標準解を計算し、手作業で求めた連分数展開をxとyの厳密値と照合していただけます。

決定論的なテストデータを作る

任意精度演算、漸化式、数式処理ルーチンの検証に使える厳密なペル方程式の解を生成します。

連分数の周期を調べる

完全平方数ではない複数のDについて、反復回数と解の大きさを比較していただけます。

よくある質問

ソルバーは何を返しますか？

入力値d、正の基本解xとyを表す厳密な10進文字列、および検査した収束分数の数を返します。

xとyが文字列なのはなぜですか？

ペル方程式の解は一般的なJSON環境の安全な整数範囲を超えることがあります。10進文字列なら丸めずに全桁を保持できます。

Dが完全平方数だと拒否されるのはなぜですか？

Dが平方数の場合、正のyを持つ非自明なペル方程式の解がなく、正の基本解も存在しないためです。

対応する入力範囲を教えてください？

Dには2から10,000,000までの完全平方数ではない整数をご指定ください。

API呼び出しの料金はいくらですか？

APIは1リクエスト$0.002です。ブラウザー上では無料でもご利用いただけます。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/numth/pell-equation-solver

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/numth/pell-equation-solver \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"d":61}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/numth/pell-equation-solver", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "d": 61
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/numth/pell-equation-solver",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "d": 61
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/numth/pell-equation-solver", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"d":61}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"d":61}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/numth/pell-equation-solver", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "d": 61
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "numth.pell_equation_solver",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

制限

max_d 10000000

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

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