Equazione di Pell

Inserisca D per ottenere la più piccola coppia di interi positivi x e y che soddisfa l’equazione. Il calcolo usa un’aritmetica intera esatta, quindi anche le risposte oltre il normale intervallo numerico di JavaScript rimangono precise. Lo strumento è utile per esercizi di teoria dei numeri, studio delle frazioni continue, verifiche di algoritmi e software che richiedono una soluzione canonica e affidabile dell’equazione di Pell.

Che cosa indica la soluzione fondamentale

Per un intero positivo fisso D che non sia un quadrato, l’equazione di Pell cerca valori interi che soddisfino x² − Dy² = 1. Esistono infinite soluzioni positive, ma tutte sono generate da un’unica coppia minima non banale. Questa calcolatrice restituisce tale coppia, detta soluzione fondamentale: x e y sono positivi, l’identità vale esattamente e nessun x positivo più piccolo risolve la stessa equazione. Per esempio, D = 2 produce x = 3 e y = 2, perché 3² − 2 × 2² è uguale a 1. L’input deve essere un numero intero compreso tra 2 e 10,000,000. Un D quadrato perfetto viene rifiutato perché x² − Dy² si fattorizza come (x − √D y)(x + √D y) e non esiste una soluzione positiva con y maggiore di zero. I risultati sono stringhe decimali e non valori in virgola mobile. Questa rappresentazione conserva ogni cifra quando la soluzione fondamentale è inaspettatamente grande, fenomeno che si presenta anche per alcuni valori piuttosto modesti di D. Lei può quindi copiare la risposta in un sistema di algebra computazionale o in una libreria a precisione arbitraria senza arrotondarla prima.

Come le frazioni continue trovano la risposta

L’algoritmo sviluppa √D come frazione continua semplice periodica. Le sue convergenti forniscono approssimazioni razionali p/q sempre più accurate di √D, finché numeratore e denominatore di una convergente soddisfano p² − Dq² = 1. Il risolutore aggiorna lo stato della frazione continua e le due ricorrenze delle convergenti con operazioni intere deterministiche. Dopo ogni passaggio verifica l’identità di Pell mediante aritmetica BigInt e restituisce subito la prima soluzione positiva. Questa prima convergente valida è la soluzione fondamentale; lo strumento non deve quindi esaminare coppie arbitrarie di interi né ipotizzare un intervallo per x e y. Il conteggio delle iterazioni indica quante convergenti sono state provate, inclusa la parte intera iniziale di √D. Il campo aiuta a confrontare le lunghezze dei periodi o a esaminare le prestazioni, ma non modifica il risultato matematico. La verifica finale dell’identità non usa approssimazioni numeriche. La normale radice quadrata serve soltanto a ricavare il pavimento intero esatto per il valore D limitato; ogni possibile grande soluzione e ogni uguaglianza vengono calcolate esattamente.

Come usare e verificare i valori restituiti

Invii un oggetto con il campo d, per esempio {"d": 13}. È accettato anche l’alias D maiuscolo per le formule copiate dalla notazione convenzionale. Una risposta valida include d, x, y e iterations. Nel codice dell’applicazione, tratti x e y come stringhe di interi decimali: i linguaggi dotati di interi a precisione arbitraria possono convertirle direttamente, mentre i sistemi limitati a numeri di ampiezza fissa devono conservare le stringhe o utilizzare una libreria per grandi interi. Per verificare autonomamente una risposta, elevi x al quadrato, sottragga D moltiplicato per il quadrato di y e confermi che il risultato sia esattamente uno. Esegua il controllo con aritmetica intera, non in virgola mobile. Tipi non validi, frazioni, valori fuori dall’intervallo pubblicato e quadrati perfetti generano un errore di input non valido invece di un risultato ingannevole. Il risolutore non usa rete, casualità, stato memorizzato o data corrente, quindi lo stesso D produce sempre la stessa risposta. Il browser è comodo per calcoli singoli; l’API costa $0.002 per richiesta quando occorre integrarla in uno script, un servizio didattico o una suite di test.